5.5 三角函数模型的简单应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

f＝1；②f(x)的图象可以由曲线y＝sin x－cos x平移得到；③f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为；④f(x)的最大值为2. (1)请指出这三个条件，并说明理由； (2)若曲线y＝f(x)的对称轴与x轴交点的横坐标有且只有一个在区间[0，m]上，求m的取值范围． 解：(1)三个条件是①③④，理由如下． 若满足②，因为y＝sin x－cos x＝sin，所以A＝，ω＝1. 若满足③，则函数f(x)的最小正周期T满足＝，所以T＝＝π，所以ω＝2. 若满足④，则A＝2. 由此可知，若满足②，则③④均不满足， 所以满足的三个条件是①③④. (2)由③④知f(x)＝2sin(2x＋φ)． 由①知f＝1，即2sin＝1， 所以sin＝， 所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)或＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝2kπ－(k∈Z)或φ＝2kπ＋(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ＝－， 所以f(x)＝2sin. 令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z. 当k＝－1时，x＝－；当k＝0时，x＝； 当k＝1时，x＝. 所以若要曲线y＝f(x)的对称轴与x轴交点的横坐标有且只有一个在区间[0，m]上，只需m∈， 所以m的取值范围是. 5．5 三角函数模型的简单应用 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象． 2．通过构建三角函数模型，尝试解决物理、生活中的简单问题．　　 题型(一)　三角函数在物理中的应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 (1)x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离． (2)A：物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅． (3)T：T＝，它表示往复运动一次所需的时间，称为周期． (4)f：f＝＝，它表示物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率． (5)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相位． [典例]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”画出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解]　列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图实线部分所示． (1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [方法技巧] 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　　 [针对训练] 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边，角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　 ) A．2， B．， C．，π D．2，π 解析：选B　当t＝0时，θ＝sin＝.由函数解析式易知，单摆周期为＝π，故单摆频率为. 2．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式； (2)如果t在任意一段 s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？ 解：(1)由题图可知，A＝300，周期T＝2×＝，∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，则sin＝0，即sin＝0.又|φ|<，∴φ＝. 故所求的函数解析式为I＝300sin. (2)依题意，周期T≤，即≤，∴ω≥300π.故ω的最小值为300π. 题型(二)　三角函数在生活中的应用 [典例]　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系f(t)＝10－2sin，t∈[0,24]． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解]　(1)因为f(t)＝10－2sin，t∈[0,24]， 所以≤t＋≤，－1≤sin≤1. 因为当t＝2时，sin＝1； 当t＝14时，sin＝－1， 所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，得当f(t)>11时实验室需