4.3.3 对数函数的图象与性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.3.3　对数函数的图象与性质 第 1 课时　对数函数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.类比指数函数来学习对数函数，会求与对数函数有关的定义域问题，并能解决简单的实际问题. 2.了解反函数的概念，掌握它们的图象特点. 逐点清(一)　对数函数的概念 [多维度理解] 由于指数函数是严格单调的，等式x＝ay中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算y＝logax(x>0，a>0且a≠1)确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数. 微点助解 (1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，即满足以下三个条件： ①底数a＞0且a≠1；②真数是x；③对数式的系数是1. (2)由指数式与对数式的互化过程知道对数函数的自变量x恰是指数函数的函数值y，对数函数的函数值y恰是指数函数的自变量x，所以对数函数的定义域为(0，＋∞)，值域为R. [细微点练明] 1.下列函数是对数函数的是(　 ) A.y＝logx B.y＝log3(x＋1) C.y＝logx2 D.y＝log3x＋2 答案：A 2.设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝，则f＝(　 ) A.2 B.－2 C.－ D. 答案：C 3.函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝______________. 解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1. 答案：1 4.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝____________. 解析：设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8,3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，即a＝2.∴f(x)＝log2x.∴f＝log2＝log22－5＝－5. 答案：－5 逐点清(二)　反函数 [多维度理解] (1)称指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. (2)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. [细微点练明] 1.已知函数f(x)＝2x的反函数是y＝g(x)，则g的值为(　 ) A.1 B. C.－ D.－1 解析：选D　∵由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，∴原函数的反函数为g(x)＝log2x，则g＝log2＝－1. 2.与函数y＝x的图象关于直线y＝x对称的函数是(　 ) A.y＝4x B.y＝4－x C.y＝logx D.y＝log4x 解析：选C　因为函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，且这两个函数的图象关于直线y＝x对称，因此与函数y＝x的图象关于直线y＝x对称的函数是y＝logx. 3.已知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，则(　 ) A.f(3x)＝e3x(x∈R) B.f(3x)＝ln 3·ln x(x>0) C.f(3x)＝3ex(x∈R) D.f＝ln x＋ln 3(x>0) 解析：选D　因为y＝ex，所以其反函数为y＝ln x，即f(x)＝ln x，所以f(3x)＝ln 3x＝ln x＋ln 3(x>0). 4.函数y＝3x＋1的反函数的表达式为(　 ) A.y＝log3x＋1 B.y＝log3x－1 C.y＝log3(x＋1) D.y＝log3(x－1) 解析：选B　由y＝3x＋1得x＝log3y－1， 令y＝x得y＝log3x－1，所以函数y＝3x＋1的反函数的表达式为y＝log3x－1. 逐点清(三)　对数函数的实际应用问题 实际问题中对数模型要建模准确，计算时充分利用对数运算性质，注意变量的实际意义. [典例]　声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕斯卡(Pa)，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的叫做声压级，若声压级用S表示，单位为分贝(dB).若S＝20lg(其中声压的有效值表示为Pt，k＝2×10－5Pa)，根据以上材料，回答下列问题： (1)若两人小声交谈时声压的有效值Pt＝0.000 2 Pa，求其声压级； (2)已知我市某个学校高一学生在学校礼堂开展辩论会，如果测得声压级为100 dB.求该学校礼堂此时声压的有效值. [解]　(1)由题意，当Pt＝0.000 2 Pa时，S＝20lg＝20lg＝20lg 10＝20(dB)，即声压级为20 dB. (2)声级为100 dB时，由S＝20lg，得100＝20lg，所以＝105.即Pt＝105×2×10－5＝2 Pa.故该学校礼堂此时声压的有效值为2 Pa. [方法技巧] 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝