1.3.1 等比数列的概念及通项公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．3.1&1.3.2　等比数列及其通项公式　等比数列与指数函数 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2.灵活应用等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系． 重点难点 重点：等比数列通项公式的应用． 难点：理解等比数列的概念 第 1 课时　等比数列的概念及通项公式 一等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示． 对等比数列概念的理解 (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项之比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N＋)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列． (4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列． (5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列． 　(多选)下列数列是等比数列的是(　 ) A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B．－1,1，－1,1，－1，… C．0,2,4,6,8,10，… D．1，，，，… 答案：BD 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1. 2．等比中项 在两个数a、b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为 a与b的等比中项．由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝±. (1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，则an＋1是an与an＋2的等比中项．如在等比数列1,2,4,8，…中，2n是2n－1与2n＋1的等比中项(n∈N＋)． (2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的，前者可以推出后者，但后者不一定能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列． 1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为(　 ) A．± B．±2 C. D．－2 解析：选D　因为＝q3＝－8，故q＝－2. 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　 ) A．4 B．8 C．6 D．32 解析：选C　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6. [题点一] 等比数列的通项公式及应用 [典例]　在等比数列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a2＝4，a5＝－，求an； (3)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. [解]　(1)由等比数列的通项公式得， a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，则 解得∴an＝a1qn－1＝(－8)－n－1＝－n－4(n∈N＋)． (3)设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝. ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·n－4. 由16·n－4＝，得n－4＝5.∴n＝9. [方法技巧] 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 [对点训练] 　在等比数列{an}中． (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 解：(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝405. (2)a1＝＝＝5. (3)因为所以　 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. [题点二] 等比中项及应用 [典例]　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？ [解]　由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)