1.2.1 等差数列的概念及通项公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．2.1&1.2.2　等差数列及其通项公式　等差数列与一次函数 第 1 课时　等差数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 重点难点 重点：等差数列通项公式的应用． 难点：对等差数列的理解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，常用字母d表示． (1)“从第2项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“与它的前一项之差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 1．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　 ) A．公差为1的等差数列　　 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 答案：B　 2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________． 解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3. 答案：3 二等差数列的通项公式 1．等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 等差数列通项公式的注意点 (1)通项公式还可以推广为an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋，m<n)． (2)通项公式的变形：d＝＝(m，n∈N＋，m<n)，即已知等差数列的任意两项，可以直接求出公差d. (3)由方程思想，已知an，a1，n，d中的任何三个量，可以求出另一个量，即“知三求一”． (4)根据通项公式知，已知数列的任意两项，可以确定等差数列的每一项． ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————— 2．等差中项 在两个数a，b之间插入M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项． 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　 ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：选C　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)， ∴d＝－2，故选C. 2．等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________. 解析：a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. 答案：－4n＋1 3．已知数列{an}是等差数列，a1和a2的等差中项为1，a2和a3的等差中项为2，则公差d＝________. 答案：1 [题点一] 等差数列的通项公式及应用 [典例]　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. [解]　(1)由题意知 解得 (2)由题意知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N＋. [方法技巧] 等差数列通项公式的求法与应用技巧 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． (1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程(组)求解的思想方法，称为方程思想．等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项a1与公差d即可．运用方程的思想，一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式． (2)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [对点训练] 1．设数列，，2，，…，则4是这个数列的(　 ) A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 解析：选D　由题意可知，数列即，，，，…，由此可得，an＝＝.由＝4，解得，n＝11.所以4是这个数列的第11项． 2．已知数列{an}为等差数列，且公差为d. 若a15＝8，a60＝20，则a105的值为________． 解析：由题意得解得 故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32. ∴a105＝32. 答案：32 [题点二] 等差中项及其应用 [典例]　(1)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中