检测评价9 等比数列的前n项和及其性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（九） 等比数列的前n项和及其性质 (一)基础落实 1．在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于(　 ) A．4－2100 B．4＋2100 C．4－2－98 D．4－2－100 解析：选C　q＝＝，则S100＝＝＝4×(1－2－100)＝4－2－98. 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B　显然q≠1，由Sn＝，得93＝，解得q＝2.由an＝a1qn－1，得48＝3×2n－1，解得n＝5. 3．已知在等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为(　 ) A．3n－1 B．3(3n－1) C. D. 解析：选D　∵an＝2×3n－1， ∴数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列， 由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，9为公比的等比数列，则前n项和为Sn＝＝. 4．设等比数列的前n项和为Sn，若＝，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵是等比数列， ∴S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列， ∵＝，设S5＝2k，S10＝k， 则S10－S5＝－k，∴S15－S10＝，则S15＝， ∴＝＝. 5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)(　 ) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 解析：选A　由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：100＋100＋50＋…＋100×8＝100＋100＝100＋100×＝300－200×9≈300米． 6．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn＝________. 解析：Sn＝＝. 答案： 7．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________． 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y， 由等比数列前n项和的性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 答案：80 8．在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝________. 解析：法一：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，满足S3＝. 当q≠1时，依题意，得 解得综上可得a1＝或a1＝6. 法二：由得a1＋a2＝3， 所以＝＝2， 解得q＝1或q＝－.所以a1＝或a1＝6. 答案：或6 9．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝3，nbn＋1＝anbn＋2bn. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 解：(1)由已知得b2＝a1b1＋2b1，得a1＝1， 即{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2. (2)由(1)知nbn＋1＝(3n－2)bn＋2bn，整理得bn＋1＝3bn， 因此{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，从而是首项为1，公比为的等比数列， 所以Sn＝＝－. 10．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1＋a3＝5，a2＋a4＝10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a7＋7，a2k，－Sk成等差数列，求正整数k的值． 解：(1)设等比数列{an}的首项是a1，公比是q， 则解得所以an＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)可知a7＋7＝71，a2k＝22k－1，－Sk＝1－2k， 由条件可知2×22k－1＝71＋1－2k，整理为22k＋2k－72＝0， 即(2k－8)(2k＋9)＝0，即2k＝8⇒k＝3，所以k＝3. (二)综合应用 1．已知一个等比数列{an}的公比q<0，且前5项和为－11，|a5|＝3|a3|＋4|a1|，则a4＝(　 ) A．2 B．24 C．8 D．4 解析：选C　由|a5|＝3|a3|＋4|a1|得|a1q4|＝3|a1q2|＋4|a1|，化简得q4＝3q2＋4， 整理得q4－3q2－4＝0，解得q2＝4或q2＝－1(舍去)，又q<0，所以q＝－2， 所以S5＝＝＝－11，所以a1＝－1，a4＝a1q3＝－1·(－2)3＝8. 2．(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　 ) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 解析：选ABC　∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12.又公比q为整数，解得a1＝q＝2.∴a