检测评价12 椭圆及其标准方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（十二） 椭圆及其标准方程 (一)基础落实 1．“1<k<5”是方程“＋＝1表示椭圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若方程表示椭圆，则有因此1<k<5且k≠3，故“1<k<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)分别过点A(2,0)和B(0，－1)，则该椭圆的焦距为(　 ) A. B．2 C. D．2 解析：选B　由题意可得a＝2，b＝1，所以c＝＝＝，所以2c＝2.故选B. 3．已知椭圆＋y2＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k＝(　 ) A. B. C．3 D．5 解析：选D　因为椭圆＋y2＝1的一个焦点是(2,0)，所以k>1，所以k－1＝4，所以k＝5.故选D. 4.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象．如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为(　 ) A. B. C．2 D．3 解析：选B　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1，因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当x＝1时，y＝±，所以最短窗棂的长度为. 5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B　依题意有|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，又⊥，S△PF1F2＝||·||＝9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，则b＝3，故选B. 6．若焦点在x轴上的椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________． 解析：由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知椭圆＋＝1的一个焦点为F1，且点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________． 解析：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝3，设椭圆的另一个焦点为F2，连接PF2，易知MO(O为坐标原点)是△F1PF2的一条中位线，则PF2⊥F1F2，所以点P的横坐标xP＝±3，代入椭圆方程＋＝1，可得点P的纵坐标yP＝±，故点M的纵坐标为±. 答案：± 8．已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为______________． 解析：设Q(x，y)，由于Q是OP中点，故P(2x,2y)，代入椭圆方程得＋＝1，化简得x2＋＝1.即Q点的轨迹方程为x2＋＝1. 答案：x2＋＝1 9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，并且过点(－，)； (2)与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)； (3)焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B. 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设其标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知得c＝4，且b2＝a2－c2，所以a2－b2＝16.　① 因为点(－，)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.　② 由①②得a2＝20，b2＝4.因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由题意可设其方程为＋＝1(λ>－9)． 又椭圆过点(3，)，将此点坐标代入椭圆方程，得λ＝11，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．将点A，B的坐标代入，得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 10.如图所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.求椭圆的标准方程． 解：设点F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 由＝2，得|DF1|＝＝c. 又S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，所以c＝1.所以|DF1|＝. 由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，所以|DF2|＝. 所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (二)综合应用 1．椭圆＋＝1上任一点P到点Q(1,0)的距离的最小值为(　 ) A. B. C．2 D. 解析：选B　设点P的坐标为(m，n)，其中m∈[－3,3]，由＋＝1，可得n2＝5－， 又由|PQ|＝＝＝＝，当m＝