2.3.1 两条直线的交点坐标（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3.1　两条直线的交点坐标 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 重点 难点 重点：两条直线的交点坐标． 难点：两条直线的交点坐标的求解与应用. 1．两条直线的交点坐标 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(x0，y0)．若点A是直线l1与l2的交点，则有 即方程组的解就是这两条直线的交点坐标． 2．判定两条直线的位置关系 直线l1，l2的方程构成的方程组解的组数与两直线的位置关系. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3．两直线的位置关系与系数的关系 方程组 ①有唯一解⇔≠⇔l1，l2相交； ②有无穷多解⇔＝＝⇔l1，l2重合； ③无解⇔＝≠⇔l1，l2平行． 1．判断正误 (1)若由两直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两直线相交．(　 ) (2)若两直线的斜率都存在且不等，则两直线相交．(　 ) (3)当两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线相交．(　 ) (4)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　 ) (5)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　 ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,1) D．(2,2) 解析：选A　直线x＝1与直线y＝2是互相垂直的直线，交点坐标是(1,2)．故选A. 3．已知直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　 ) A．12 B．10 C．－8 D．－6 解析：选B　将(2，－1)代入3x＋my－1＝0可得m＝5，将(2，－1)代入4x＋3y－n＝0可得n＝5，所以m＋n＝10.故选B. —————————————————————————————————— 两条直线的交点问题 —————————————————————————————————————— [典例]　判断下列各组直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们的交点． (1)l1：x－4y－1＝0，l2：x＋2y－4＝0； (2)l1：x－y－2＝0，l2：x＋y＋2＝0； (3)l1：x－3y－2＝0，l2：2x－3y＋1＝0. [解]　(1)由题设，l1中A1＝1，B1＝－4，l2中A2＝1，B2＝2，则A1B2－A2B1＝1×2－1×(－4)＝6≠0， 所以l1与l2相交．联立方程可得即交点为. (2)由题设，l1中A1＝，B1＝－1，l2中A2＝1，B2＝，则A1B2－A2B1＝×－1×(－1)＝4≠0， 所以l1与l2相交．联立方程可得即交点为(1，－)． (3)由题设，l1中A1＝，B1＝－3，l2中A2＝2，B2＝－3，则A1B2－A2B1＝×(－3)－2×(－3)＝0， 又当y＝0时，l1中x＝，l2中x＝－， 所以l1与l2平行． [方法技巧] 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解． 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线重合．　　 [对点训练] 1．若直线x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选B　由解得 则点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，得k＝－. 2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x－3y＝7，l2：4x＋2y＝1； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2. 解：(1)由得 ∴l1与l2相交，交点坐标为. (2)⇔ ∵①②两式相同，∴l1与l2重合． (3) ②×(－1)－①得0＝2－5，矛盾，方程组无解，∴l1∥l2. —————————————————————————————————— 求过两条直线交点的直线系方程 —————————————————————————————————————— [典例]　直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程． [解]　法一：联立方程 解得即直线l过点(－1,3)． ∵直线l的斜率为， ∴直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋