2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 学习任务 1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象) 2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算) 3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象) 主体学习 判断直线与椭圆是否有公共点，如有，求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长. 例1 解：联立直线与椭圆的方程，可得方程组 解方程组可得 因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点坐标为. 从而可知所求线段长. 例2 已知直线与椭圆，分别求直线 与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的 取值范围. 解：联立直线与椭圆的方程得方程组 消去，整理得 因为①的判别式为 所以当即时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解中有两个元素，直线 与椭圆有两个公共点； 例2 已知直线与椭圆，分别求直线 与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的 取值范围. 当即时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程的实数解集中只有一个元素，直线 与椭圆 有且只有一个公共点； 当即或时，方程①无实数解，此时原方程组的解集为空集，直线与椭圆没有公共点. 直线与椭圆 有2个公共点 直线与椭圆 有且只有1个公共点 直线与椭圆 没有公共点 相交 相切 相离 例3 判断直线与双曲线是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标. 解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组 消去，可得，由此可解得.此时. 因此直线与双曲线只有一个公共点，且公共点坐标为(-1,0). 一个公共点，相交 直线与圆锥曲线的位置关系 从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 例4 已知点和抛物线，求过点且与抛物线相切的直线的方程. 解：当直线的斜率不存在时，由直线过点可知，直线就是轴，其方程为. 由消去未知数可得.这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线相切. 如果直线的斜率存在，则设直线的方程为. 由方程组消去，整理得.为了使这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有 因此可解得. 此时直线的方程为，即 综上可知，直线的方程为或 (1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程; (2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程; (3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程. 解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2. 又A,B两点均在椭圆上, 课堂小结 15 谢谢观看 由消元, 随堂练习 已知椭圆=1,求: 故有+4=16,+4=16. 两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2). 故kAB==-=-. (1)由kAB=-,得所求轨迹方程为x-2y-4=0. (2)由kAB=-=2,得所求轨迹方程为x+8y=0(-4≤x≤4). (3)由kAB=-,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4). $$