同步学案5.1 导数的概念及其意义-【学易优】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用 §5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 旬 标 1.通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程。 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系， 导 能3.体会极限思想： 目标一 平均速度 (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其 [探究导思] 几何意义. 【问题1】在高台跳水中，运动员相对于水面 的高度h与起跳后的时间存在函数关系 h(t)=一4.9t+6.5t十10，根据上述探究， 你能求该运动员在0≤1≤0.5,1≤t≤2,0≤ 1<0内的平均速度吗 【总结导通】 求物体运动的平均速度的主要步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)一s(t), (2)再计算时间的改变量t2一t1, (3)得平均速度=，)一s() t2-t1 [典题导练] 【跟踪训练1】设地铁在某段时间内进行调 【例1】某物体运动的位移s与时间t之间的 试，由始点起经过1秒后的距离为=一 函数关系式为s)=sin,1e[0,] 4t3十16t(单位：米)，则列车运行10秒的平 1)分别求()在区间[0，至]利[至·]上的 均速度为 A.10米/秒 B.8米/秒 平均速度； C.4米/秒 D.0米/秒 ·60· 第五章一元函数的导数及其应用 目标二 瞬时速度 [探究导思] [典题导练] 【问题2】我们也发现了高速路上区间测速 【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间 的弊端，因为如果某人发现超速了，他只需 t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t+t+1 表示，求物体在=1s时的瞬时速度： 踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可， 你认为，我们应该如何改进高速路上的区间 测速问题？ 【总结导通】·· 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量△s=s(t。十△t)一s(t。). (2)求平均速度u=A [梳理导学] (3)求驿时速度，当y无限趋近于0时，会无限 1.瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时 趋近于的常数u即为瞬时速度，即U=limA -0△ 速度. 2.瞬时速度与平均速度的关系：从物理角 【跟踪训练2】一质点M按运动方程s(t)= 度看，当时间间隔|△t无限趋近于0时， at十1做直线运动（位移单位：m,时间单 位：s),若质点M在t=2s时的瞬时速度为 平均速度o就无限趋近于t=t。时的瞬 8m/s,求常数a的值. 时速度 3.瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移 的函数关系式为y=h(t),则物体在t。时刻 (t。+△)-h(to) 的瞬时速度为lim △t 【注意点】---- △1可正，可负，但不能为0 ·61· 选择性必修第二册·数学(RJ) 目标三[ 抛物线的切线的斜率 [探究导思] [典题导练] 【例3】求抛物线f(x)=x2一2x+3在点 【问题3】在点P。(1,1)的附近任取一点 (1,2)处的切线方程， P(x,x2),考察抛物线f(x)=x2的割线 P。P有什么变化趋势？ Ax=x 【总结导通】 (1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤 求斜率 fx+△x)-fx） 利用公式k=lim △x [梳理导学] 利用点斜式y一f代x)=(x一)求 写方程 方程 1.抛物线的切线：设P。是抛物线上一定点，P 变形式一将点斜式方程化为一般式方程 是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点 (2)求曲线过某点的切线方程需注意，该点 P,时，割线P。P无限趋近于一个确定的位 不一定是切点，需另设切点坐标。 置，这个确定位置的直线P,T称为抛物线 在点P。处的切线. 【跟踪训练3】求抛物线f(x)=x2一x在点 2.切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图 (2,2)处的切线方程. 形上看，当横坐标间隔|△x无限变小时，点 P无限趋近于点P。,于是割线PP。无限趋 近于点P。处的切线P。T,这时，割线PP 的斜率k无限趋近于点P。处的切线P。T 的斜率k。 【注意点】--· 极限的几何意义：曲线y=f(x)在x=x。处 的切线斜率. ·62· 第五章一元函数的导数及其应用 随堂评价测案 1.已知抛物线y=3x一x2在x,=2处的增量 A.v>v2>v B.u3>u2>01 为△=0.1.则会的值为 C.2>u1>v3 D.2>U3>01 3.已知函数f(x)=2x2一4的图象上两点A, A.-0.11 B.-1.1 B,且xA=1,x=1.1,则函数f(x)从A点 C.3.89 D.0.29 到B点的平均变化率为 2.汽车行驶的路程s和时间 A.4 B.4x t之间的函数图象如图所 C.4.2 D.4.02 示，在时间段[，t1],[t1, 4.抛物线y=x2十4在点(1,5)处的切线的斜 率为 2],[2,l]上的平均速度 温馨 分别为，心，西，则三者的大小关系为( 提子 请做课时作业（十八）P