4.1.2 数列的概念（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1.2 数列的概念 教学设计 1、 课时教学内容 学习数列的概念与表示，数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系 2、 课时教学目标 (1) 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. (2) 了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式. (3) 会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式． 3、 教学重点、难点 1.教学重点：掌握数列的通项公式及应用． 2.教学难点：理解Sn与an的关系，能运用这个关系解决相关问题． 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题1如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解． 解：令，解这个关于的方程，得（舍去），或． 所以，120是数列的项，是第10项． 【师生活动】教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得。我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或。教师提醒学生： 因为n是正整数，所以-12要舍掉。因此，120是这个数列的项，并且是第10项。在这道题讲解后，教师总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号。 环节二 观察分析，感知概念 问题2 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式。 例4图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式． 解：在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1． 因此，这个数列的一个通项公式是． 【师生活动】教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27。教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系。学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是。这些数都是3的指数幂，指数为序号-1。因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是。 追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ 换个角度观察图4.1-3中的4个图形．可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1无色小三角形．于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍． 这样，例4中的数列的前4项满足，，，． 由此猜测这个数列满足公式 【师生活动】教师给学生以提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律。如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用。学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍。教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形。于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍。学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出。教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论。于是写成。教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律。通项公式反映的是项与序号之间的关系。而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系。根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推。 环节三 抽象概括，形成概念 问题3什么是一个数列的递推公式？ 像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了． 【师生活动】教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解。教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了。 追问（1）：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察． 【师生活动】教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8