期中复习03 空间向量有关角和距离问题-2023-2024学年高二数学上学期期末专项复习（人教A版2019选择性必修第一册）

期中复习专题03：空间向量求有关角和距离问题原卷版 考点一：异面直线所成的角 【知识点梳理】 1、空间向量法：设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝，角的范围. 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 【典例例题】 例1. （2022·湖北重点中学期中）如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）． A． B． C． D． 2.（2022秋·广东广州·高二广州市玉岩中学校考期中）如图，某圆锥的轴截面，其中，点B是底面圆周上的一点，且，点M是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(    ) A． B． C． D． 3.（2022·浙江绍兴市第二中学期中）如下图，在三棱锥中，分别是的中点，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 4.（2022秋·辽宁鞍山·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.    (1)求证：平面； (2)若，求与所成角的余弦值. 考点二：直线与平面所成的角 【知识点梳理】 1、 空间向量求直线与平面所成的角：设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝，角的范围：. 2、利用法向量方法求直线与平面的夹角的基本步骤． (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝. (5)结合直线与平面所成角的范围求出直线与平面所成的角． 【典例例题】 例1. （2022·湖北武汉市高级中学期中）已知四棱锥，底面ABCD为菱形，，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且平面AMHN． （1）证明；； （2）若H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的余弦值． 【变式训练】 1. （2022·浙江绍兴市第二中学期中）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2.（2022·乌鲁木齐第一中学期中） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2023春·福建·高二校联考期中）如图在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点， (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大． 4．（2022秋·浙江·高二校联考期中）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.    (1)求证：； (2)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考点三：二面角 【知识点梳理】 1、 （2022·湖北重点中学期中）空间向量求二面角：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝，二面角为或者，范围为. 2、利用法向量求二面角的大小的一般步骤． ①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． ②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2. ③计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝. ④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 【典例例题】 例1. （2022·湖北重点中学期中）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD⊥AB，侧面PAB⊥底面ABCD， ，且E，F分别为PC，CD的中点． （1）证明：DE平面PAB； （2）若直线PF与平面PAB所成的角为 ，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 【变式训练】 1. （2022·湖北新高考联考）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且，. （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值. 2. （2022·湖北宜昌市第一中学期中）在直三棱柱中，，，N，M分别是BC，的中点，点P在线段上． （1）若P为的中点，证明：平面； （2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由． 3. （2022·山东省淄博市实验中学期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中