专题05 线段、角、对角线的计数模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 模型1. 线段与角度的计数模型 1）线段的计数模型 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023秋·浙江·七年级阶段练习）如图，射线上有，，，则图中有（    ） A．1条射线、3条线段 B．4条射线、3条线段 C．4条射线、6条线段 D．7条射线、8条线段 例2．（2023秋·浙江七年级月考）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 例3．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（　　）    A．10 B．11 C．18 D．20 例4．（2023秋·四川甘孜·七年级统考阶段练习）① 如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2；② 如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来；③ 如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来； ④ 应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？ 例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达．①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 2）角度的计数模型 结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个） 例1．（2023春·浙江·七年级课堂例题）图中角的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个． 例3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：  （1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？ （3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）。(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图