专题05 线段、角、对角线的计数模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05.线段、角、对角线的计数模型 本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。 模型1. 线段与角度的计数模型 1）线段的计数模型 结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）； 结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条） 例1．（2023秋·四川遂宁·七年级校考期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 例2．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票价格最多有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 例3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）石衡沧港城际铁路是京津冀城际铁路网“四纵四横一环”的重要组成部分，在沧州境内途径泊头、沧县、黄骅、渤海新区四个县（市），要保证每两个县（市）之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（    ） A．20种 B．15种 C．12种 D．6种 例4．（2023秋·安徽滁州七年级月考）【观察思考】 在表中空白处画出图形； 线段上的 点数包括 ，两点 图例 线段总条数 ______ ______ ______ ______ ______ 【模型构建】如果线段上有个点包括线段的两个端点，那么该线段上共有多少条线段？ 【拓展应用】请将以下问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． （1）8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制即每两位同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行______场比赛； （2）某班名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握次手问好，则共握手______次； （3）海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站个站之间运行，那么该趟列车需要安排不同的车票______种，票价______种． 例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________．则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 2）角度的计数模型 结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）； 结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个） 例1．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，则图中共有 个角． 例2．（2023·山东青岛·七年级校考期末）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个． 例3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）（1）数一数图①中共有 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的