第七章7.4.2超几何分布（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时7　超几何分布  1. 通过具体实例,理解超几何分布的概念. 2. 运用超几何分布模型解决一些相关的实际问题. 课程目标 学科核心素养 理解超几何分布,能够判断随机变量是否服从超几何分布,会求服从超几何分布的随机变量的均值 通过区别二项分布和超几何分布,理解概念,学会计算,培养逻辑推理、数学抽象和数学运算素养 运用超几何分布模型解决一些相关的实际问题 通过从实际背景中抽象出超几何分布模型,培养数学抽象、数学建模等素养 已知10件产品中有2件次品,随机抽取3件产品,按照下列其中一种方式进行试验. 方式1:逐个有放回抽取3件产品; 方式2:逐个不放回抽取3件产品; 方式3:一次性抽取3件产品. 设抽取的3件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列. 【提示】 方法1:X的分布列:P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.方法2:X的分布列:P(X=0)=××=,P(X=1)=××+××+××=,P(X=2)=××+××+××=.方法3:X的分布列:P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==. 设计意图　通过对三种不同方式的随机试验进行对比分析,让学生发现它们的差异性,归纳出超几何分布模型的特征,由特殊到一般地求得超几何分布的分布列. 任务1　理解超几何分布模型  活动1　从实例中区分超几何分布和二项分布  问题1　已知100件产品中有8件次品,现从中采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列. 【提示】 采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X~B(4,0.08). 问题2　若采用不放回抽样,抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗?若不服从,则X的分布列是什么? 【提示】 不服从,根据古典概型求X的分布列 X 0 1 2 3 4 P 设计意图　二项分布和超几何分布是高中概率统计模块最重要的模型,从实例中进行比较区别,初步获得超几何分布的认知,为抽象出超几何分布的概念奠定基础. 活动2　抽象超几何分布的概念  问题3　类似于问题2中的分布就是超几何分布,你能抽象出超几何分布的概念吗? 【提示】 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}. 问题4　公式P(X=k)=中各字母的含义 【提示】 N—总体中的个体总数, M—总体中的特殊个体总数(如次品总数), n—样本容量, k—样本中的特殊个体数(如次品数). 设计意图　经历具体感知后,让学生自主概括超几何分布模型,培养从特殊到一般的数学思想方法和数学抽象核心素养. 任务2　探究超几何分布的均值  活动3　超几何分布模型  问题5　服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 【提示】 设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,我们猜想E=p,即E(X)=np=. 问题6　已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,则任意取出的3件产品中次品数的均值为多少? 【提示】 次品数服从超几何分布,则E(X)=3×=0.3. 设计意图　通过本活动,在具体的问题情境中,深化学生对超几何分布的理解,发展逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养. 任务3　运用超几何分布模型解决实际问题  活动4　应用超几何分布模型解决问题  问题7　为活跃校园文化,丰富学生的课余生活,某高校社团举办了“校园音乐节”,某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱. (1) 求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率; (2) 假设演唱1首摇滚歌曲,观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱1首校园民谣,观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的分布列. 【提示】 (1) 设“至少演唱1首摇滚歌曲”为事件A,则事件A的对立事件为“没有1首摇滚歌曲被演唱”,所以P(A)=1-P()=1-=.(2) 设乐队共演唱Y首摇滚歌曲,Y的所有可能值为0,1,2,3,则P(Y=k)=,(k=0,1,2,3),P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,P(Y=3)==,因为X=aY+2a(4-Y)=a(8-Y),当Y=0,1,2,3时,对应X=8a,7a,6a,5a,即X的所有可能值为5a,6a,7a,8a,P(X=8a)=P(Y=0)=,P(X=7a)=P(Y=