第六章6.3.1二项式定理（配套课件）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版2019）

6.3 二项式定理 课时7　二项式定理 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解二项式定理,会用计数原理证明二项式定理. 通过对二项式定理的学习,培养逻辑推理素养. 熟练掌握二项展开式及其通项,并会运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 通过运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,培养数学运算与逻辑推理素养. 情境导学 情景1:二项式定理最初用于开高次方.在中国,成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序.11世纪中叶,贾宪在其《解锁算书》中给出了“开方作法本原图”,满足了三次以上开方的需要.此图即为到六次幂的二项式系数表,其中第i层即为(a+b)i-1展开式的系数.但是贾宪并未给出二项式系数的一般公式,因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理.13世纪,杨辉在其《详解九章算法》(1261)中引用了此图,并注明了此图出自贾宪的《解锁算书》.贾宪的著作已经失传,而杨辉的著作流传至今,所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”. 情境导学 情景2:桶里有大小相同,质地相同的a,b两小球,有放回地取两次,有几种不同的取法?请分别用列举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析. 初探新知 【活动1】 探究二项式定理 问题1 由初中多项式乘法法则,我们知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,那么(a+b)4=? 问题3 请想一想:展开式的项有哪些?每一项的系数怎样得到? 问题2 怎样得到(a+b)4的展开式呢? 初探新知 问题4 每一项的系数是怎样得到的呢? 问题5 对于(a+b)n(n∈N*)的展开式,怎样研究呢? 初探新知 【活动2】 探究二项展开式的特点及通项  问题6 (a+b)n的二项展开式共有多少项?每一项的次数是多少? 问题7 (a+b)n的二项展开每一项的系数是多少?每一项的字母的次数有什么规律? 问题8 二项展开式的第k+1项如何表示? 知识梳理 1. 二项式定理 (a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn.右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. 2. (a+b)n的二项展开式的特点 (1) 项数为n+1;(2) 各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n;(3) 字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减小1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项增加1直到n. 3. (a+b)n的二项展开式的通项为Tk+1=an-kbk. 典例精析 【思路点拨】直接套用二项式定理,计算化简即可. 【例1】[教材改编题]求(-)4的展开式. 【解】 方法1:()4=()4-()3+()2()2-()4=x2-2x+-+. 方法2:()4=()4=(2x-1)4=(16x4-32x3+24x2-8x+1)=x2-2x+-+. 典例精析 【方法规律】 求二项展开式是将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 典例精析 【变式训练1】 (1) 若(1+)4=a+b (a,b为有理数),则a+b等于(　　) A. 28 B. 16 C. 44 D. 43 (2) 化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 【解】 （1）(1+)4=1()+()2-()4=1+4+18+12+9 =28+16.故选C. （2）原式=+++++ =[(x-1)+1]5-1=x5-1 C 典例精析 【例2】 [教材改编题]已知在()n的展开式中,第6项为常数项.求: (1) n; (2) 含x2的项; (3) 展开式中所有的有理项(x的指数为整数的项). 【思路点拨】运用二项式定理,求特定的项需要灵活运用二项展开式的通项Tk+1=an-kbk. 【解】二项展开式的通项为Tr+1 ==. (1) 因为第6项为常数项,所以当r=5时,有=0,即n=10.　 (2) 令=2,得r=(10-6)=2,所以所求的项为(-3)2x2=405x2. (3) 由题意,得令=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5-k.因为r∈N,所以k应为偶数,k=2,0,-2, 即r=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为405x2,-61236,295245x-2. 典例精析 【方法规律】 求二项展开式的特定项的常用方法 (1) 对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (2) 对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项即 为