第四章 4.3.2等比数列的前n项和公式（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时9　等比数列的前n项和公式(1)  1. 理解等比数列前n项和的推导方法,体会错位相减法适用的求和式子的特点及其实质. 2. 掌握等比数列前n项和公式,理解Sn和指数函数的关系,培养数学抽象素养和逻辑推理素养. 3. 掌握与等比数列的前n项和及其性质有关的简单问题的解决方法,培养数学应用意识. 课程目标 学科核心素养 理解等比数列前n项和公式的推导方法 在等比数列前n项和公式的推导过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养 掌握等比数列的前n项和公式,理解Sn和指数函数的关系 理解函数与数列的关系,培养数学抽象、逻辑推理素养 学会求解与等比数列的前n项和及其性质有关的简单问题 能够用方程组法求等比数列的基本量,并能灵活运用等比数列的性质,培养数学运算素养 2021年5月15日,我国“天问一号”探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆,在火星上首次留下中国印迹,迈出了我国星际探测征程的重要一步.今天我们就要用数列的知识建造一个理想的平台,登上火星. 第一位同学造一层1m高的台阶,第二们同学在第一位同学的基础上造一层2 m高的台阶,第三位同学再在第二位同学的基础上造一层4 m高的台阶,假定往后每位同学所造的台阶高度都是前一位同学所造高度的2倍,依次类推,如果共有52位同学参与其中,那么共同建造的这个台阶能否从地球到达火星? (火星距离地球(0.55~4)×108 km) 【提示】 如果把每位同学造的台阶高度看成一个数列,那么它是一个首项为1,公比为2的等比数列,因此,台阶的总高度就是这个等比数列的前52项和,即1+21+22+…+251(单位:m). 设计意图　通过用多媒体播放“天问一号”着陆火星的视频,激发学生的爱国热情,调动学习的积极性.然后引导学生用数学语言将实际问题转化为等比数列前n项和这一数学问题. 注意事项: 若学生想用计算器依次算出各项的值,然后再求和,可先对这种思路给予肯定,再引导学生寻求解决问题的新方法,培养数学抽象的素养. 任务1　探究发现等比数列前n项和公式  活动1　归纳猜想等比数列前n项和公式  问题1　你能猜想等比数列的前n项和公式吗? 【提示】 由于S1=1=21-1,S2=3=22-1,S3=7=23-1,所以可猜想Sn=2n-1. 问题2　观察并归纳结果,Sn会不会与公比q有关? 【提示】 用类似方法,可猜想等比数列的前n项和公式是Sn=,Sn=,则Sn与公比q有关,将结论推广到公比为q的数列{qn-1}情况:Sn=q0+q1+…+qn-1=. 问题3　上式是否对任意首项为1,公比为q 的等比数列成立? 【提示】 当q=1时,公式不成立,其余情况均成立. 问题4　你能猜想首项为a1,公比为q 的等比数列的前n项和公式吗? 【提示】 当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an=a1q0+a1q1+…+a1qn-1=;当q=1时,Sn=na1. 设计意图　通过上述问题,引导学生通过具体的等比数列,从特殊到一般,分析、比较、归纳,反复验证,从而猜想出等比数列前n项和公式.感受研究问题的一般思路:探索—归纳—猜想—证明,体现了从特殊到一般的数学思想方法,培养了合作交流意识以及数学运算、合情推理能力. 注意事项: 1. 若学生猜想首项为1,公比为q(q≠0)的等比数列为Sn=qn-1,教师可引导学生从公比为2,到公比为3,4直至公比为q,让学生尝试总结规律. 2. 猜想的过程要遵循从具体到抽象,由特殊到一般的规律,让学生真正意义上参与公式的猜想,感受知识的生成过程. 任务2　探究等比数列前项和公式的推导及其与指数函数的关系 活动2　探究等比数列前n项和公式的推导及其与指数函数的关系  问题5　活动1中,已经猜想出了等比数列前n项和公式,你能尝试推导出这个式子吗? 【提示】 由于an=a1qn-1,所以Sn=a1+a1q1+a1q2+…+a1qn-1,将上式两边同乘以公比q,得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,两式相减得,(1-q)Sn=a1(1-qn),当q≠1时,Sn=. 问题6　问题5中的式子还可以写成什么?需要注意什么? 【提示】 由于an=a1qn-1,所以当q≠1时,Sn==. 需要注意的是,当q=1时,Sn=na1. 问题7　问题5中的推导方法叫错位相减法,这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在《代数学基础》中采用的.错位相减之前,式子的两边同乘了一个什么数?为什么? 【提示】 错位相减之前,式子的两边同乘了一个公比q.因为根据等比数列的定义,后一项是前一项的q倍,乘以q后前一项就变成了后一项,中间会有很多项相同,这样就可以达到消项的目的. 问题8　既然两边同乘以q可以,那么还可以怎么操作? 【提示】 两边同乘以-q,,-,等等. 问题9　观察Sn的特点,它与指