第四章 4.2.2等差数列的前n项和公式（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时5　等差数列的前n项和公式(1)  1. 理解等差数列前n项和的推导方法,体会高斯算法的实质——倒序相加法. 2. 掌握等差数列前n项和公式的两种形式,渗透数形结合思想,培养数学抽象和逻辑推理素养. 3. 掌握与等差数列的前n项和有关的简单问题,培养数学应用意识. 课程目标 学科核心素养 理解等差数列前n项和公式的推导方法 通过具体实例,归纳等差数列前n项和公式的推导方法,培养数学抽象、逻辑推理素养 掌握等差数列前n项和公式的两种形式,理解Sn和二次函数的关系 通过多角度探究等差数列前n项和公式的推导,理解函数与数列的关系,培养数学抽象、逻辑推理素养 学会求与等差数列的前n项和有关的简单问题 能够用方程组法求等差数列的基本量,并能灵活运用等差数列的性质,培养数学运算、逻辑推理素养 　　世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层,图案之细致令人叫绝.请你观察这个图案有什么特点?一共花了多少块宝石? 图1 【提示】 这个图案的特点是:从上到下,宝石数目是以1为首项,以1为公差的等差数列.因此,宝石的总数是1+2+3+…+100(块). 设计意图　用多媒体展示泰姬陵及三角形图案,让学生进入问题情境,体会数学来源于现实生活.教师可以指出这个题目早在1787年就已被德国著名数学家高斯解决,当时高斯只有10岁,并补充介绍相关数学史,激发学生学习新知识的兴趣,让学生带着问题学习新课. 任务1　借助求前n个正整数之和介绍倒序相加法  活动1　探究前n个正整数之和的方法  问题1　关于计算1+2+3+…+100,你知道高斯是怎么算的吗? 【提示】 由于1+100=2+99=…=50+51=101,可以首尾配对,共有50个101,故所求和是5 050. 问题2　你能用高斯的算法求1+2+3+…+101吗? 【提示】 思路1:可写为(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51, 思路2:可写为1+2+3+…+102-102,即(1+102)+(2+101)+…+(51+52)-102, 思路3:可写为0+1+2+3+…+101=(0+101)+(1+100)+…+(50+51). 问题3　如何计算1+2+3+…+n呢? 【提示】 对n分奇数和偶数讨论:当n是偶数时,可以直接配对;当n是奇数时,可借助添项减项,调整项数,将奇数项的求和问题转化为偶数项的求和问题. 问题4　能否避免分类讨论实现“配对”呢? 【提示】 可将原式倒序写一遍,即n+(n-1)+…+2+1,再与原式中的“对应项”相加可得,(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1)=n(n+1),故原式=. 设计意图　通过探究高斯的求和算法,先引导学生发现偶数项的求和的问题可直接首尾配对求和,奇数项的求和问题可借助添项减项,转化为偶数项的求和问题;再引导学生探究不进行分类讨论实现“配对”的方法,即倒序相加法,这就是高斯算法的实质,即将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”,体现了转化与化归的思想方法. 注意事项: 1. 从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和,让学生领会从特殊到一般的研究方法,目的是让学生能对“首尾配对求和”这一算法有所掌握. 2. 在求奇数项之和时,若简单模仿高斯算法,将不能实现全部配对,教师要引导学生独立思考,如何将奇数项求和转化为偶数项求和,注意及时渗透转化与化归思想. 任务2　推导等差数列的前n项和公式  活动2　探究等差数列前n项和公式的推导及其与二次函数间的关系  问题5　在等差数列{an}中,定义前n项和Sn=a1+a2+…+an,如何求Sn? 【提示】 因为Sn=a1+a2+…+an,所以Sn=an+an-1+…+a1,利用倒序相加法及等差数列的性质可得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),故Sn=. 问题6　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么Sn可以怎样表示? 【提示】 思路1:Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+d. 思路2:将an=a1+(n-1)d代入Sn=可得Sn=na1+d. 问题7　观察Sn的特点,它与一元二次函数间有什么联系? 【提示】 可将Sn写为Sn=n2+n,因此它是二次型函数,并不一定是二次函数.当d≠0时,Sn可看成二次函数y=x2+x(x∈R)当x=n时的函数值,其几何意义是一条过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点;当d=0时,Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点. 设计意图　通过上述问题,引导学生从不同角度推导等差数列的前n项和公式,经历观察