第五章 5.3.3导数的应用（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时12　导数的应用  1. 能运用导数与函数的单调性、极值、最值之间的关系解决有关函数与方程的综合问题. 2. 掌握运用导数解决函数与有关比较大小、证明不等式和求范围等综合问题的基本方法. 3. 学会将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题,然后再运用导数知识使问题获解. 课程目标 学科核心素养 能运用导数解决与函数相关的综合问题 通过运用导数解决与函数相关的综合问题,培养逻辑推理、数学运算等素养 能利用导数解决实际问题学会建立数学模型、运用导数知识求解数学模型,进而获得实际问题的解 在利用导数解决实际问题的过程中,培养数学抽象、数学建模等素养 不知大家有没有注意过,对于果汁、可乐等不同饮料,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些.是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?你想不想从数学角度来认识它的道理? 【提示】 可以通过建立函数模型,运用导数研究其最值,得出问题的结论. 设计意图　运用生产、生活实际中的具体问题创设情境,引导学生探索解决问题的方法和途径,体会导数知识在解决生产、生活实际中的具体问题中的应用,培养数学应用意识,激发探究新知的积极性,为新课的学习活动营造良好的氛围. 任务1　探索运用导数解决有关函数、方程以及不等式的综合问题的方法 活动1　探索运用导数解决与函数和方程有关的综合问题的方法  问题1　什么是函数的零点? 【提示】 使得函数y=f(x)的值为零的x的值叫做函数的零点. 问题2　我们可以从哪些角度来认识函数与零点的概念? 【提示】 可以从数和形两个角度来认识. 从数的角的度看,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根;从形的角度看,函数y=f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 问题3　解决函数零点问题的基本思路是什么? 【提示】 解决函数y=f(x)的零点问题的基本思路有两条:一是研究方程f(x)=0的根,二是研究函数y=f(x)的图象与x轴的交点. 问题4　函数的零点与导数之间存在联系吗? 【提示】 利用导数,我们可以研究出函数y=f(x)的单调性、极值与最值,从而就能作出函数y=f(x)的大致图象,进而可以从图象上发现零点的情况,为我们解决有关函数与方程的综合问题提供一条新途径. 问题5　设函数f(x)=lnx+,m∈R.讨论函数g(x)=f'(x)-(x>0)零点的个数. 【提示】 由题设g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0得m=-x3+x(x>0),设h(x)=-x3+x(x>0),则h'(x)=-x2+1=-(x-1)·(x+1),当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减,因此x=1是h(x)的最大值点.所以h(x)的最大值为h(1)=, 结合y=h(x)的图象(图1)可知: 图1 ① 当m>时,函数g(x)无零点,② 当m=时,函数g(x)有且只有一个零点,③ 当0<m<时,函数g(x)有两个零点,④ 当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点,综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生复习函数零点的概念,探究导数与函数零点之间的关系,尝试运用导数求解有关函数与方程的综合问题,培养学生数形结合、化归转化的意识,发展学生的逻辑推理、直观想象等素养. 注意事项: 在教学中,引导学生学会通过分离变量后构造函数,将方程问题转化为函数问题,提醒学生分离后构造哪两个函数. 活动2　探索运用导数解决函数与不等式的综合问题的方法  问题6　我们知道,函数的单调性与不等式有着密切的联系,运用导数可以研究函数的单调性,那么运用导数可以求解函数与不等式的综合问题吗? 【提示】 运用导数研究了函数的单调性,得出其极值与最值的情况以后,我们就能运用得出的结果求解与函数有关比较大小、证明不等式、求不等式解集和确定参数的取值范围等综合性问题. 问题7　已知函数f(x)=lnx-x+,存在x0∈,使得不等式f-c≤0成立,求c 的最小值. 【提示】 存在x0∈,使得不等式f-c≤0成立,则只需c≥f(x)min.因为f'(x)=--+=-=-.所以当x∈时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;当x∈[1,2]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.所以f(x)在x=处取得极小值,即f=+ln=-ln2,又f(2)=-+ln2,所以f(x)min=f(2),所以c≥f(x)min=-+ln2,所以c∈.故cmin=-+ln2. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生