第五章 5.2.3简单复合函数的导数（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时7　简单复合函数的导数  1. 理解复合函数的概念,会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合. 2. 理解复合函数的求导法则,能正确地运用复合函数的求导法则求复合函数的导数. 3. 能熟练地运用求导公式、运算法则和复合函数的求导法则求较复杂的函数的导数. 课程目标 学科核心素养 理解复合函数的概念 通过对复合函数的概念的学习,培养数学抽象素养 会从特殊到一般、从具体到抽象归纳复合函数的求导法则 在推导复合函数求导法则的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养 会求简单复合函数的导数,掌握其在解决实际问题中的应用 在解决实际问题的过程中,培养数学运算、数学建模等素养 海上一艘油轮发生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)是油膜半径r(单位:m)的函数S=f(r)=πr2.油膜的半径随着时间t(单位:s)的增加而扩大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1,那么油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少? 【提示】 由题意可得油膜的面积S关于时间t的函数为S=f(φ(t))=π(2t+1)2,这是一个复合函数,油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是复合函数S=f(φ(t))=π(2t+1)2的导数.要解决这一问题,就要研究复合函数的求导. 设计意图　通过实际问题创设情境,引导学生探索解决这个问题的方法,感知应用原有知识解决这个问题时行不通,由此产生认知冲突,激发求知欲,为研究复合函数及其求导法则营造出一个良好的学习氛围. 任务1　复合函数的概念  活动1　归纳复合函数的定义  问题1　y=ln(2x-1)有什么结构特点? 【提示】 若设u=2x-1,则y=lnu,从而y=ln(2x-1)可以看成是由y=lnu和u=2x-1经过“复合”得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.如果把y与u的关系记作y=f(u),u与x的关系记作u=g(x),那么这个“复合”过程可表示为y=f(u)=f(g(x))=ln(2x-1). 问题2　函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的? 【提示】 函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1两个函数复合而成的. 问题3　你能由特殊到一般,归纳总结出复合函数的定义吗? 【提示】 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).其中y=f(u)叫做外层函数,u=g(x)叫做内层函数. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生由特殊到一般,归纳、总结出复合函数的定义,对复合函数的概念形成正确的认识和理解,学会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合,为研究复合函数的导数奠定基础. 注意事项: 在教学过程中,要注意从特殊到一般、转化与化归的数学思想方法的渗透. 任务2　探究复合函数的求导法则  活动2　由特殊到一般、从具体到抽象归纳复合函数的求导法则  问题4　求函数y=sin2x的导数. 【提示】 令u=2x得y=sinu,以y'x表示y对x的导数,y'u表示y对u的导数,一方面,y'x=(sin2x)'=(2sinxcosx)'=2[(sinx)'·cosx+sinx·(cosx)']=2(cos2x-sin2x)=2cos2x,另一方面y'u=(sinu)'=cosu,u'x=(2x)'=2,可以发现y'x=2cos2x=cosu·2=y'u·u'x. 问题5　求函数y=的导数. 【提示】 令u=1-2x得y=,以y'x表示y对x的导数,y'u表示y对u的导数,y'x= = =-,y'u=,u'(x)=-2,故y'x=y'u·u'x. 问题6　你能根据上面两个问题的研究过程,归纳、总结出求复合函数的导数的法则吗? 【提示】 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积. 问题7　复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系是什么? 【提示】 y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生从具体函数切入,从两方面求导,经过比较,由特殊到一般,从具体到抽象,发现、归纳复合函数求导法则,对复合函数的求导方法形成初步的认识和理解了,发展数学抽象、数学运算等素养. 注意事项: 要注意从特殊到一般,让学生归纳出复合函数求导法则. 知识梳理 1. 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变