第四章 数列 小结与复习（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第四章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　数列的概念及表示方法  在数列{an}中,已知a1=1,前n项和为Sn,且Sn=an. (1) 求a2,a3; (2) 求{an}的通项公式. (1) 在Sn=an中,令n=2,3,计算可得a2,a3.　(2) 利用数列{an}中an与Sn的关系an=将Sn与an的关系转化为an与an-1的递推关系,可用累乘法求得其通项公式. (1) 由S2=a2,得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.所以a2=3,a3=6.　(2) 由题设知a1=1.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理,得an=an-1.于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…,an-1=an-2,an=an-1,将以上n个等式两端分别相乘,整理,得an=,经检验当n=1时,也满足上式.综上所述,{an}的通项公式为an=. 变式训练1 设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. 因为an+1=SnSn+1,所以an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,所以=-=1,即-=-1,又a1=-1,即==-1,所以数列是首项和公差均为-1的等差数列,所以=-1-1×(n-1)=-n,所以Sn=-,an=Sn-Sn-1=(n≥2).所以an= 点评总结　任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系:an=若a1适合Sn-Sn-1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示.当题目给出数列{an}中an与Sn的关系时,我们常用上述关系将其转化为关于数列{an}的递推关系,再运用累加法、累乘法或构造等差数列、等比数列等方法求出其通项公式. 设计意图　通过对例1及其变式的探索与研究,使学生熟悉数列{an}中an与Sn之间的关系,能正确地运用这个关系解决已知an与Sn之间的关系求数列的通项的问题,深化对数列的通项an与前n项和Sn的认识和理解,提高分析问题与解决问题的能力,培养逻辑推理与数学运算素养. 在数列{an}中,已知an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0). (1) 若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2) 若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围. (1) 当a=-7时,an=1+,可结合函数f(x)=1+的单调性得出数列{an}中的最大项和最小项的值.　(2) 由对任意的n∈N*,都有an≤a6知,a6是数列{an}中的最大项,结合函数an=1+的图象列出a所满足的不等式,通过解不等式即可得出实数a的取值范围. (1) 因为a=-7,所以an=1+.结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).所以数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.　(2) an=1+=1+.因为对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,知5<<6,所以-10<a<-8.故实数a的取值范围为(-10,-8). 变式训练2 在数列{an}中,已知a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*). (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围. (1) 因为2Sn=(n+1)an,所以2Sn+1=(n+2)an+1,所以2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,所以=,所以==…==1,所以an=n(n∈N*).　(2) 由(1)知bn=3n-λn2,则bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).因为数列{bn}为递增数列,所以2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<.令cn=,则=·=>1.所以{cn}为递增数列,所以λ<c1=2,即λ的取值范围为(-∞,2). 点评总结　数列是特殊的函数,研究数列的有关问题时,我们可以运用函数的观点,充分借助函数的图象和性质的研究方法.(1) 单调性:若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列;(2) 周期性:若an+k=an(n∈N*,k为非零正整数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期;(3) 最大值与最小值:若则an最大;若则an最小. 设计意图　通过对例2及其变式的探索与研究,使学生了解数列从本质上讲是一种特殊的函数,学会运用函数的观点来分析数列,运用函数的方法解决有关数列的单调性、周期性、最大项与最小项的问题,提高综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力,培养与发展逻辑推理与数学运算