第四章 4.4数学归纳法（配套教参）-【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

4.4*　数学归纳法 课时11　数学归纳法(1)  1. 通过多米诺骨牌游戏,探究数学归纳法的证明步骤,理解数学归纳法的提炼过程. 2. 类比多米诺骨牌游戏,加深对数学归纳法本质特征的认识,明确数学归纳法的操作步骤. 3. 借助一些简单的数学命题,熟悉数学归纳法证明数学命题的基本过程和表示规范. 课程目标 学科核心素养 理解数学归纳法的提炼过程 类比多米诺骨牌游戏,加深对数学归纳法本质特征的认识,培养数学抽象、逻辑推理素养 理解数学归纳法的步骤及适用范围 在探究数学归纳法证明步骤的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题 在利用数学归纳法证明数学命题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养 情境1:法国数学家费马观察到:+1=5,+1=17,+1=257,+1=65537,归纳猜想:任何形如+1(n∈N*)的数都是质数,这就是著名的费马猜想,这个猜想对吗? 【提示】 不正确.半个世纪以后,数学家欧拉发现,第5个费马数+1=641×6 700 417不是质数,从而推翻了费马的猜想. 情境2:已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),计算a2,a3,a4,猜想an的表达式? 【提示】 计算可得,a2=,a3=,a4=,由此猜想an=(n∈N*).这一猜想正确吗? 设计意图　通过创设两个问题情境,即费马猜想和数列问题(它们都是不完全归纳法的体现),让学生大胆猜想,发现其结果不一定正确,这里蕴含了数学中的归纳思想.情境2的问题,引出如何证明与正整数n有关的数学命题的问题,激发学生对数学归纳法的学习兴趣,从而引入本节课的课题——数学归纳法. 任务1　探究数学归纳法的原理及“猜想的证明步骤”  活动1　通过多米诺骨牌游戏,探究“猜想的证明步骤”  问题1　观看多米诺骨牌游戏视频,它们全部倒下的条件是什么? 【提示】 (1) 第一块骨牌倒下;(2) 任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题2　问题1中条件的作用分别是什么? 【提示】 第一个条件是初始条件;第二个条件是递推关系. 问题3　递推关系是关键,你能发现情境2中的“类似性质”吗?如何证明? 【提示】 利用ak=,证明ak+1=.将ak=代入ak+1=得,ak+1===,即可得到当n=k+1时结论成立. 问题4　类比多米诺骨牌游戏,请你总结一下“猜想的证明步骤”. 【提示】 (1) 证明n=1时,猜想正确;(2) 证明“如果n=k时猜想正确,那么n=k+1时猜想也正确”这个命题是真命题. 设计意图　通过观看多米诺骨牌游戏视频,深度挖掘“骨牌原理”,引导学生分析使所有多米诺骨牌都能倒下的两个条件,并分析两个条件的作用.事实上,这个游戏蕴含了递推思想,这是解决问题的关键.引导学生发现情境2中的“类似性质”,然后类比多米诺骨牌游戏,总结“猜想的证明步骤”.这个探究过程,实现了从现实情境向数学知识的自然迁移,发展了学生的数学抽象、逻辑推理素养. 注意事项: 1. “骨牌原理”和“猜想的证明步骤”,要将两个条件分别对比分析,让学生用类比的思维方式,实现知识的迁移过程. 2. 数学归纳法原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏,它的核心是“归纳递推”,因此,要深入分析第二个条件的“递推”作用. 任务2　理解数学归纳法的步骤及适用范围  活动2　探究数学归纳法的步骤及适用范围  问题5　“骨牌原理”的第一步为命题成立提供了基础,称之为“归纳奠基”,那么n的取值一定从1开始吗? 【提示】 不一定,n的取值需要根据实际情况而定. 问题6　“骨牌原理”的第二步为保证了命题成立的递推性,称之为“归纳递推”,这一步的本质是什么? 【提示】 证明一个命题:条件是“n=k时命题成立”,结论是“n=k+1时命题也成立”.结合k的任意性,保证了命题成立的递推性. 问题7　请你进一步归纳:证明一个与正整数n有关的命题的步骤是什么? 【提示】 (1) (归纳奠基)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;(2) (归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”. 问题8　是不是涉及正整数的命题都要用数学归纳法?请举例说明. 【提示】 不是的,例如证明对任意的正整数n,等式(n-3)(n+2)=n2-n-6恒成立,可利用多项式的乘法法则直接证明,不必要用数学归纳法. 设计意图　引导学生类比“骨牌原理”,分析每一步的作用,并对每一步进行辨析,目的是明白第一步是证明奠基性,第二步是证明递推性,从而加深对数学归纳法本质特征的认识.通过这一活动,突出教学重点,突破教学难点,提升数学抽象、逻辑推理素养. 注意事项: 1. 在数学归纳法证明的第一步,需强调n的取值不一定从1开始,要视具体情况而定. 2. 在数