第六章平面向量及其应用(教师专用)-【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步单元检测卷（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 一、 单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,那么向量+等于 (　　) 第1题 A. B. C. D. 【解析】 ∵+=+=.故选A. 【答案】 A 2. 设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是 (　　) A. (1,8) B. (-16,-2) C. (1,-8) D. (-16,2) 【解析】 ∵向量a与向量b垂直,∴2×6+4k=0,解得k=-3,∴a+b=(8,1),则向量(-16,-2)与向量a+b共线.故选B. 【答案】 B 3. 若平面上非零向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=|c|=1,则|a+b+c|的值为 (　　) 　第3题答图 A. 1 B. 2 C. 0 D. 【解析】 如图,令=a,=b,=c,且彼此的夹角为120°,根据向量加法的平行四边形法则,得a+b+c=0,故选C. 【答案】 C 4. [2022·陕西省渭南市高一期末改编题]已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为60°时,合力大小为 (　　) A. 10 N B. 10 N C. 20 N D. 40 N 　第4题答图 【解析】 如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知当它们的夹角为90°时,|F|=|F1|=20 N,∴|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为60°时,合力与F1及F2的夹角为30°,故|F|=2|F1|cos30°=10 N.故选A. 【答案】 A 5. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,·=,=λ(λ∈(0,1)),且·=-3,则λ的值为 (　　) 第5题 A. B. C. D. 【解析】 依题意,·=(+)·(-)=·(λ-)=λ+·-=-3,即9λ+-8=-3,解得λ=.故选B. 【答案】 B 6. [教材改编题]在△ABC中,内角A,B,C分别对应边a,b,c,则“sinA≤sinB”是“a≤b”的 (　　) A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【解析】 由正弦定理得=,若sinA≤sinB则a≤b,反之,若a≤b,则sinA≤sinB.故选B. 【答案】 B 7. 已知向量a,b满足|b|=3,且9a-b=λb(λ>0),则当λ变化时,a·b的取值范围是 (　　) A. (-∞,) B. (-∞,2) C. (2,+∞) D. [2,+∞) 【解析】 由9a-b=λb,得9a=b,则9a·b=b2,∵|b|=3,λ>0,则a·b=λ+≥2,当且仅当λ=,即λ=时取等号.∴a·b的最小值是2,得a·b的取值范围是[2,+∞).故选D. 【答案】 D 8. 如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2 km.记∠AMN=θ.为使工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大),则θ为 (　　) 第8题 A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【解析】 ∵∠AMN=θ,在△AMN中,由正弦定理,得==,∴AN=sinθ,AM=·sin(120°-θ),∵120°-θ+60°+θ=180°,∴AM=sin(θ+60°).在△APM中,由余弦定理,得AP2=AM2+PM2-2AM·PM·cos∠AMP=sin2(θ+60°)+4-sin(θ+60°)cos(θ+60°)=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4=-[sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+=-sin(2θ+150°),0°<θ<120°,当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.故选B. 【答案】 B 二、 多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9. 对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的有 (　　) A. |a·b|≤|a||b| B. |a-b|≤||a|-|b|| C. (a+b)2=|a+b|2 D. (a+b)·(a-b)=a2-b2 【解析】 对于选项A,设向量a,b的夹角为θ,∵|a·b|=||a||b|cosθ|≤|a||b|,∴选项A正确;对于选项B,|a-b|≥||a|-|b||,∴选项B错误;对于选项C,由向量