第八章 8.6.2直线与平面垂直-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时12　直线与平面垂直(1) 

A组　基础巩固

1. [2021·河北省石家庄市高二月考]一圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线与底面所成的角是              (　　)

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

【解析】 设圆锥的母线长为R,底面半径为r,则πR=2πr,∴R=2r,∴母线与底面所成角的余弦值为=,∴母线与底面所成的角是60°.故选C.

【答案】 C

2. 如图,点A∈α,点B∈α,点P∉α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,

　第2题

且PC⊥AC,则动点C在平面α内的轨迹是 (　　)

A. 一条线段,但要去掉两个点

B. 一个圆,但要去掉两个点

C. 两条平行直线

D. 半圆,但要去掉两个点

【解析】 连接BC,AB,∵PC⊥AC,PB⊥AC,PC∩PB=P,∴AC⊥平面PBC,∵BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC,说明动点C在以AB为直径的圆上,但不与点A,B重合.故选B.

【答案】 B

3. 如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,正方形ABCD的面积为16,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为              (　　)

A. 64 B. 64 C. 48 D. 64

第3题

【解析】 ∵正方形ABCD的面积为16,∴AB=BC=4,∵AB⊥平面BB1C1C,故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,即∠AC1B=30°,∴BC1=4,∴CC1==4.∴长方体的体积V=16×4=64.故选B.

【答案】 B

4. (多选)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下列命题,其中正确的有 (　　)

A. m∥n,m⊥α⇒n⊥α

B. α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n

C. m∥n,m∥α⇒n∥α

D. α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β

【解析】 易知A正确;对于B,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但它们不一定平行,也可能异面,因此B是错误的;对于C,直线n也可能位于平面α内,因此C是错误的;对于D,由m⊥α,且α∥β,得m⊥β,又m∥n,故n⊥β,因此D是正确的.故选AD.

【答案】 AD

5. (多选)[教材改编题]《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图,在阳马S⁃ABCD中,底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有              (　　)

　第5题

A. AC⊥SB

B. AB∥平面SCD

C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

【解析】 四棱锥S⁃ABCD为阳马,底面ABCD为正方形,SD⊥底面ABCD,对于选项A,∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD,∵SD⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,∴AC⊥SD,∵BD∩SD=D,BD⊂平面SBD,SD⊂平面SBD,∴AC⊥平面SBD,∵SB⊂平面SBD,∴AC⊥SB,故A正确;对于选项B,∵底面ABCD为正方形,∴AB∥CD,∵AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,∴AB∥平面SCD,故B正确;对于选项C,由对选项A的解析得AC⊥平面SBD,设AC∩BD=O,连接SO,则∠ASO就是SA与平面SBD所成的角,同理∠CSO就是SC与平面SBD所成的角,易得SA=SC,∴∠ASO=∠CSO,故C正确;对于D,∵AB∥CD,∴AB与SC所成的角为∠SCD,∠SCD<∠SDC=90°,∵CD⊥平面SAD,SA⊂平面SAD,∴DC与SA所成的角为90°,故D错误.故选ABC.

【答案】 ABC

　第6题