第八章 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

8.3　简单几何体的表面积与体积 课时4　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积  A组　基础巩固 1. 棱长为a的正四面体的表面积是 (　　) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 【解析】 棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形,正四面体的表面积是4×a2=a2.故选D. 【答案】 D 2. 正三棱柱ABC⁃A1B1C1各棱长均为1,D为AA1的中点,则四面体A1⁃BCD的体积是 (　　) A. B. C. D. 【解析】 如图,∵三棱柱ABC⁃A1B1C1为棱长均为1的正三棱柱, 　第2题答图 ∴底面ABC为正三角形,侧面BB1C1C为正方形,=-VD⁃ABC=××1-××=.故选D. 【答案】 D 　第3题 3. [2021·全国百强名校“领军考试”高考数学联考试卷(文)]斗不仅是我国古代容量单位,还是量粮食的器具.如图,该斗可近似看作正四棱台,上底面是边长为6 dm的正方形,下底面是边长为2 dm的正方形,高为4 dm.斗的厚度忽略不计,则该斗的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为 (　　) A. 8 B. 16 C. 2 D. 4 【解析】 由题意可知,该四棱台的侧面均为等腰梯形,则其斜高为=2(dm),∴该斗的所有侧面的面积之和S1=4××(6+2)×2=32(dm2),下底面的面积S2=2×2=4(dm2),∴=8.故选A. 【答案】 A 4. 正六棱锥P⁃ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D⁃GAC与三棱锥P⁃GAC的体积之比为 (　　) A. 1∶1 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 3∶2 　第4题答图 【解析】 如图,由于G是PB的中点,故三棱锥P⁃GAC的体积等于三棱锥B⁃GAC的体积,在正六边形ABCDEF中,设AC交BD于点H,BH=ABtan30°=AB,而BD=AB,故DH=2BH,于是VD⁃GAC=2VB⁃GAC=2VP⁃GAC,∴VD⁃GAC∶VP⁃GAC =2∶1.故选C. 【答案】 C 5. (多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上、下两部分几何体,且上、下两部分几何体的高之比为1∶2,则下列关于上、下两部分几何体的说法中正确的是 (　　) A. 侧面积之比为1∶4 B. 侧面积之比为1∶8 C. 体积之比为1∶27 D. 体积之比为1∶26 【解析】 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到上、下两部分几何体且上、下两部分几何体的高之比为1∶2,设上部分几何体的高为h1,原棱锥的高为h2,=.由于上部分几何体的侧面和原棱锥的侧面为相似三角形,相似比为,故其面积的相似比为,∴几何体的上、下两部分的侧面积的比为,易知上面的几何体和原棱锥的体积比为×=,故上、下两个几何体的体积比为.故选BD. 【答案】 BD 　第6题 6. [2022·山东省滨州市高一期中]如图,长方体ABCD⁃A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E⁃BCD的体积是　　　　.  【解析】 相对于长方体的底面积与高,三棱锥的分别减半.故所求为×120××=10. 【答案】 10 　第7题 7. 如图,在棱长为6的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别在C1D1与C1B1上,且C1E=4,C1F=3,连接EF,FB,DE,BD,DF,则几何体EFC1DBC的体积为　　　　.  【解析】 如图,连接DC1,那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥D⁃EFC1及四棱锥D⁃CBFC1,那么几何体EFC1DBC的体积V=+=××3×4×6+××(3+6)×6×6=12+54=66.故所求几何体EFC1DBC的体积为66. 第7题答图 【答案】 66 　第8题 　第8题答图 8. 如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段B1B上一动点,则当AM+MC1最小时,求△AMC1的面积. 【解析】 如图,沿BB1将侧面ABB1A1与BCC1B1展开成平面图形,连接AC1,交BB1于点M,点M满足AM+MC1最小,此时BM=AB=1,AM=,B1M=B1C1=2,C1M= =2,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC1===.由余弦定理,cos∠AMC1== =-,则∠AMC1=120°.故△AMC1的面积S=×AM×C1M·sin120°,即S=××2×=. B组　综合运用 9. [2021·福建省三明市模拟]斗拱是中国古典建筑中装饰性的构件之一,如图是斗拱构件之一的斗的几何体,本图中的斗由棱台与凹槽(长方体去掉一个长相等、宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2,高为9 cm,凹槽的原长方体高为12 cm,则这个斗的体积是 (　　) 第9题 A. 6 700 cm3 B. 6 900 c