第六章 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例-（配套练习）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

课时15　余弦定理、正弦定理应用举例  A组　基础巩固 1. [2021·广东省深圳市华侨城中学高一月考]已知A船在灯塔C北偏东85°方向上,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C西偏北55°方向上,且B到C的距离为 km,则两船的距离为(　　) A. 3 km B. 2 km C. km D. km 【解析】 在△ACB中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=12+3-2×2××cos120°=21,故两船的距离为 km.故选C. 【答案】 C 2. 地上画有一个∠BDA,且∠BDA=60°,某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10 m后,拐弯往另一边行走14 m正好到达△BDA的另一边BD上的一点,我们将该点记为点N,则N与D之间的距离为 (　　) A. 14 m B. 15 m C. 16 m D. 17 m 第2题答图 【解析】 如图,设DN=x m,则142=102+x2-2×10×xcos60°,∴x2-10x-96=0,∴(x-16)(x+6)=0.∴x=16或x=-6(舍去).∴N与D之间的距离为16 m.故选C. 【答案】 C 3. 为了在一条河上建一座桥,施工队在河两岸打上两个桥桩A,B,要测量A,B两点间的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°.可以计算出A,B两点间的距离为 (　　) 第3题 A. 20 m B. 30 m C. 40 m D. 50 m 【解析】 在△ABC中,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°,由正弦定理得=,即=,AB=50,即A,B两点间的距离为50 m.故选D. 【答案】 D 4. [2022·河北师范大学附属中学高一期中]《数书九章》是我国古代数学家秦九韶的著作,全书共八十一个问题,分为九类,每类九个问题.《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其在“三斜求积”一卷中提出了已知三角形三边a,b,c,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法如下:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有周长为10+2的△ABC,满足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为 (　　) A. 12 B. 8 C. 4 D. 6 【解析】 由题意结合正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶,∵△ABC的周长为10+2,即a+b+c=10+2,∴a=4,b=6,c=2.则S==6.故选D. 【答案】 D 　第5题 5. 如图,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD=6 000 m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,则炮兵阵地到目标的距离是 (　　) A. 2 000m B. 1 000m C. 3 000m D. 2 000m 【解析】 在△ACD中,∵∠ACD=45°,∠ADC=75°,∴∠CAD=60°,由正弦定理可得=,∴AD=6 000×=2 000(m).在△BCD中,由正弦定理得=,∴BD==3 000(m),在Rt△ABD中,由勾股定理可得AB2=BD2+AD2,∴AB== 1 000(m).故选B. 【答案】 B 6. 某市修筑了一条沿江跑道MN供市民跑步健身.某日,在M地正东方向距离M地 km的P地因故进行检修,为安全起见,以P为圆心、1 km为半径的范围内任何市民均不能入内.以MP为基线在M处测得该跑道另一终点N在北偏东60°的方向上,这一天市民从M处出发最多跑　　　　km.  第6题 【解析】 如图,以P为圆心、1为半径作圆,MA为要求的距离.在△AMP中,由余弦定理得AP2=MP2+MA2-2MP·MA·cos∠AMP,即1=2+MA2-MA,解得MA=.即市民从M处出发最多跑 km. 第6题答图 【答案】 7. [2022·北京市朝阳区高一期末]如图,某湿地管理部门为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台D.已知湿地夹在公路AB,AC之间(AB,AC的长度均超过4 km),且∠BAC=60°.在公路AB,AC上分别设有游客接送点E,F,AE=AF=2km.若要求观景台D建在点E,F连线的右侧,并在观景台D与接送点E,F之间建造两条观光线路DE与DF,∠EDF=120°,则观光线路DE与DF之和最长为　　　　km.  第7题 【解析】 易知在△AEF中,EF=2,在△DEF中,设DE=m,DF=n,根据余弦定理,可得EF2=DE2+DF2-2DE·DFcos∠EDF,即12=m2+n2+mn,即12=(m+n