6.1.3 向量的减法(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

　　　6.1.3　向量的减法(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示. 2.掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义. 3.理解向量加法与减法的关系，掌握向量减法的三角形法则. 1.向量的减法法则 向量的差 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－b 向量减法的三角形法则 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝ 结论 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 2.相反向量 定义 给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a 性质 (1)因为零向量的始点与终点相同，所以－00； (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； (3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量 微点助解 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b). (2)注意向量加、减法的三角形法则的区别. (3)以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并记牢. [基点训练] 1.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是(　 ) A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析：选B　＝＋＝－. 2.下列等式： ①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0； ④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0. 其中正确的个数是(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误. 3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则－＋等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　－＋＝＋＋＝＋0. 4.已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝____________. 解析：如图，在矩形OACB中，－＝，则|a－b|＝||＝＝＝13. 答案：13 题型(一)　向量减法的几何作图 [典例1]　如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： (1)b＋c－a； (2)a－b－c. [解]　(1)如图1所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c，所以b＋c－a＝－＝. 　 (2)由(1)知，＝b＋c，如图2所示，则a－b－c＝－＝. [方法技巧] 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. [针对训练] 1.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 　 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 题型(二)　向量加、减法的基本运算 [典例2]　化简下列各式： (1)－－； (2)(－)－(－). [解]　(1)法一：－－＝－＝. 法二：－－＝－(＋)＝－＝. 法三：－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝. (2)法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0. 法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0. 法三：设O是平面内任意一点，则(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0. [方法技巧] 利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.　　 [针对训练] 2.(多选)下列各式中，化简结果为的是(　 ) A.(－)－ B.－(＋) C.－(＋)－(＋) D.－－＋ 解析：选ABC　(－)－＝＋＋＝，故A正确；－(＋)＝－0，故B正确；－(＋)－(＋)＝－(＋)－(＋)＝－－＝－(＋)＝－＝，故C正确；－－＋＝2＋≠，故D不正确. 题型(三)　用已知向量表示其他向量 [典例3]　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. [解]　法一：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b. 法二：＝＋＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋0＋(＋)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c. [方法技巧] (1)用已知向量