8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式，并能利用计算公式解决实际问题． 2．掌握几何体的侧面展开图，理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关系． (一)棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 微点助解 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 (1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和． [基点训练] 1．棱长为3的正方体的表面积为(　 ) A．27 B．64 C．54 D．36 解析：选C　根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54. 2．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为(　 ) A．4 B. C．2 D. 解析：选D　三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为，所以此三棱锥的表面积为4×＝.故选D. (二)棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 微点助解 对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同． (2)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． (3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系． V棱柱＝ShV棱台＝h(S′＋＋S)V棱锥＝Sh. (4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积．根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积． [基点训练] 1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　 ) A．48 B．64 C．16 D．96 解析：选B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B. 2．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________． 解析：V台体＝(2＋4＋)×3＝×3×(6＋2)＝6＋2. 答案：6＋2 题型(一)　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 [典例1]　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积． [解]　如图所示，画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高， 四边形ODD1O1为直角梯形， 所以DD1＝ ＝＝. 所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝(cm2)． [方法技巧] 1．求表面积的基本解题步骤 (1)确定几何体．分析题中所给几何体的结构特点，确定几何体模型． (2)计算表面积．根据几何体模型的表面积计算公式，求出相关的表面积． (3)得出结论．将计算的表面积与题设要求对应即得问题答案． 2．求正棱台表面积的注意点 求解正棱台的表面积时注意棱台的底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用： (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． [针对训练] 1．已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为(　 ) A．1∶ B．1∶ C．2∶ D．3∶ 解析：选B　如图，棱锥B′-ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝，S△B′AC＝，三棱锥的表面积S锥＝4×＝2.又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝1∶. 2．如图，底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为__________． 解析：设直棱柱的底面边长为x，侧棱长为h， 则有AC＝，BD＝. ∵底面ABCD为菱形， ∴AC与BD互相垂直平分． ∴x2＝＋＝，即x＝. ∴S侧＝4xh＝4××h＝20. 答案：20 题型(二)　棱柱、棱锥、棱台的体积 [典例2]　 如图，三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比． 　　 [解]　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B