8.2 立体图形的直观图(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8．2　立体图形的直观图(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤． 2.会用斜二测画法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． (一)斜二测画法 1．直观图 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 2．画水平放置的平面图形的直观图的步骤 步骤 画法要求 建系 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面 画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 长度规则 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 微点助解 (1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 ①“斜”是指在已知图形的平面xOy内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； ②“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． (2)斜二测画法画图的关键 在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等的角，在直观图中仍相等．(　 ) (2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．(　 ) (3)若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行．(　 ) (4)若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　 ) A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④ 解析：选C　由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确． 3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(　 ) A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 解析：选D　因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°.又四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形． (二)空间几何体的直观图的画法 画轴 与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴 画底面 平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图 画侧棱 已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变 成图 去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 [基点训练] 　若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在平面x′O′y′上，则圆柱的高应画成(　 ) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm 解析：选A　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致． 题型(一)　画水平放置的平面图形的直观图 [典例1]　画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图． 　　 [解]　画法：①在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H. ②在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. ③在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. ④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))． [方法技巧] 画平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． [针对训练] 1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)． 解：①画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°. ②描点．如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y轴上截取O′D′＝OD，过点D′作D′C′∥x′轴，且D′C′＝DC. ③连线．连接B′C′，A′D′. ④成图．如图③，四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形AB