第五章 5.2.3简单复合函数的导数-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 课时7　简单复合函数的导数  高中快车道 教学目标 1.理解复合函数的概念,会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合. 2. 理解复合函数的求导法则,能正确地运用复合函数的求导法则求复合函数的导数. 3. 能熟练地运用求导公式、运算法则和复合函数的求导法则求较复杂的函数的导数. 2 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解复合函数的概念 通过对复合函数的概念的学习,培养数学抽象素养 会从特殊到一般、从具体到抽象归纳复合函数的求导法则 在推导复合函数求导法则的过程中,培养数学抽象、逻辑推理素养 会求简单复合函数的导数,掌握其在解决实际问题中的应用 在解决实际问题的过程中,培养数学运算、数学建模等素养 3 情境导学 海上一艘油轮发生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜,油膜的面积S(单位:m2)是油膜半径r(单位:m)的函数S=f(r)=πr2.油膜的半径随着时间t(单位:s)的增加而扩大,假设r关于t的函数为r=φ(t)=2t+1,那么油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少? 【活动1】归纳复合函数的定义  初探新知 问题1　y=ln(2x-1)有什么结构特点? 问题2　函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的? 问题3　你能由特殊到一般,归纳总结出复合函数的定义吗? 5 【活动2】由特殊到一般、从具体到抽象归纳复合函数的求导法则  问题4　求函数y=sin2x的导数 问题5　求函数y=的导数. 问题6　你能根据上面两个问题的研究过程,归纳、总结出求复合函数的导数的法则吗? 问题7　复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系是什么? 典例精析 【例1】求下列函数的导数: (1) y=; (2) y=cosx2; (3) y=lg2(2x+1); (4) y=2lgx+ex; (5) y=e3x+2. 思路点拨：第一步要弄清楚原函数是由哪两个基本初等函数复合而得到的;第二步根据基本初等函数的导数公式写出它们的导数;第三步根据复合函数的求导法则求得结果. 7 【解】 8 【方法规律】(1) 求复合函数的导数的步骤: (2) 求复合函数的导数的注意点:① 分解的函数通常为基本初等函数;② 求导时分清是对哪个变量求导;③ 计算结果尽量简洁. 9 【变式训练1】求下列函数的导数: (1)y=; (2)y=5log2(1-x); (3)y=sin(2x+). 【解】 10 典例精析 【例2】[教材改编题]求下列函数的导数: (1) y=; (2) y=x; (3) y=xcos(2x+)sin(2x+). 思路点拨：运用求导法则求导即可,对不易用求导法则求导的函数,可适当进行等价变形. 11 【解】 12 【方法规律】(1) 在对一些比较复杂的函数求导时,应注意仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2) 复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,从外层开始由外及内逐层求导. 13 【变式训练2】求下列函数的导数: (1) y=sin; (2) y=sin3x+sinx3; (3) y=xln(1+x). 【解】 14 典例精析 【例3】某物体的运动速度v(单位:m/s)与时间x(单位:s)满足函数y=v(x)=15cos(),求函数y在x=6 s时的导数,并说明它的意义. 思路点拨：由物理知识得速度的导数为加速度,由复合函数的导数公式求出v'(x),进而求出当x=6 s的瞬时加速度. 15 【解】 16 【方法规律】对于一些实际应用问题,首