第八章 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

8.3 8.3　简单几何体的表面积与体积 课时4　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积  1. 通过对棱柱、棱锥、棱台结构特征的研究,探究棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式. 2. 掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式,会求棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积. 3. 经历将立体几何问题转化为平面几何问题的过程,能求出简单的组合体的表面积与体积. 课程目标 学科核心素养 能够根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征推导出它们的表面积与体积公式 通过推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式,培养逻辑推理和数学抽象等素养 学会运用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式求其表面积与体积 通过求棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积,培养数学运算和直观想象等素养 能运用转化与化归的方法求出一些简单组合体的表面积和体积 通过运用化归与转化的方法求组合体的表面积和体积,培养逻辑推理与数学运算等素养 　　经营方决定为水立方外墙订制特殊显示屏,你能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积? 图1 在初中我们已经学过了正方体和长方体的表面积公式,你知道正方体和长方体的展开图与其表面积之间的关系吗? 【提示】 正方体和长方体的侧面展开图都是矩形,矩形的长是正方体和长方体的底面周长,矩形的宽是正方体和长方体的高;正方体和长方体的表面积就是其侧面积与上下两个底面积的和. 设计意图　通过实际问题创设情境,引导复习回顾对正方体和长方体的已有认知,为接下来推导棱柱、棱锥、棱台的表面积公式做铺垫的同时,让学生感知求简单几何体表面积的必要性,激发学生探究新知的热情,为新课的展开营造出良好的教学氛围. 任务1　探究正棱柱的表面积公式和棱柱的体积公式  活动1　推导正棱柱的表面积公式  问题1　正棱柱是由多个平面图形围成的几何体,它的侧面展开图是什么? 【提示】 侧面展开图是几个全等的矩形,如图2. 图2 问题2　如何计算正棱柱的表面积? 【提示】 表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和,正棱柱的表面积公式是S=Ch'+2S',其中C为底面周长,h'为侧面展开图的高,S'为底面面积. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生尝试将正棱柱的侧面展开,探索正棱柱的侧面积和表面积的计算方法,让学生经历将立体图形转化为平面图形的过程,从而更好地理解正棱柱的侧面积和表面积的计算公式,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 注意事项: 让学生体会正棱柱表面积与侧面积之间的联系与区别. 活动2　推导棱柱的体积公式  问题3　我们以前学习了特殊的棱柱——正方体、长方体,它们的体积公式是怎样的? 【提示】 V=Sh,其中S为底面面积,h为高. 问题4　由正方体、长方体的体积公式,你能否推导得出棱柱的体积公式? 【提示】 能,推导出棱柱的体积公式是V=Sh,其中S为底面面积,h为高.h是两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生由特殊到一般,运用类比的方法推导出棱柱的体积计算公式,体会计算棱柱的体积的一般方法,培养学生的空间想象能力,训练学生的理性思维,发展学生的逻辑推理和数学抽象等素养. 任务2　探究正棱锥的表面积公式和棱锥的体积公式  活动3　推导正棱锥的表面积公式  问题5　正棱锥的侧面展开图是什么? 【提示】 正棱锥的侧面展开图是几个全等的三角形,以正三棱锥为例,如图3. 图3 问题6　 如何计算正棱锥的侧面积和表面积? 【提示】 侧面积是侧面展开图的面积,表面积是侧面积加上底面积,由此可得:正棱锥的侧面积计算公式是S正棱锥侧=Ch',正棱锥的表面积计算公式是S正棱锥表=Ch'+S',其中C为底面周长,h'为侧面展开图中三角形的高,S'为底面面积. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,类比正棱柱侧面积和表面积计算公式的推导过程,推导出正棱锥侧面积和表面积计算公式,体会正棱锥侧面积与表面积的计算方法,深化学生对正棱锥侧面积和表面积计算公式的理解,发展学生数学抽象和逻辑推理等素养. 活动4　推导棱锥的体积公式  问题7　如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么棱柱和棱锥的体积有什么关系? 【提示】 棱柱的体积是棱锥体积的3倍. 问题8　棱锥的体积公式是什么? 【提示】 棱锥的体积公式是V=Sh.棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生观察棱锥与棱柱之间的结构差异,发现棱锥与棱柱之间的体积关系,从而由棱柱的体积公式推导出棱锥的体积公式,培养学生类比推理和空间想象的能力,发展学生的直观想象和数学抽象等素养. 任务3　探究正棱台的表面积公式和棱台的体积公式  活动5　推导正棱台的表面积公式  问题9　正