第六章 平面向量及其应用小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第六章小结与复习 一、 知识结构·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　向量的概念与运算法则及数形结合思想的运用  [2020·全国Ⅰ卷]设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　.  熟练运用向量的运算法则及向量运算的几何意义、向量的模长公式求解. 方法1:∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1,∴|a+b|===1,解得2a·b=-1,∴|a-b|===.方法2:注意到题目中的条件a,b为单位向量,且|a+b|=1,可以构造如图平行四边形,由图形可得:=a,=b,∠BAD=,则|a+b|=1,即为||=1,可得|a-b|=||=. 例1答图 变式训练1 [教材改编题]在四边形ABCD中,下列说法中正确的是 (　　) A. 若=+,则四边形ABCD为平行四边形 B. 若=,则四边形ABCD为平行四边形 C. 若|+|=|-|,则四边形ABCD为矩形 D. 若·=,则四边形ABCD为矩形 易知选项A正确;选项B是指两个单位向量方向相同,并不能说明四边形ABCD为平行四边形;选项C是指四边形ABCD是∠A=90°的四边形,不一定是矩形;选项D,根据向量数量积的几何意义,说明B为直角,并不能说明四边形为矩形.故选A. A 点评总结　向量的概念与运算法则是向量的核心知识,是解决向量问题的基础和依据.(1) 要能深刻地认识和理解向量的基本概念,明确其内涵与外延,掌握其数学本质,学会正确地运用向量的基本分析和解决有关向量的问题.(2) 向量具有“数”与“形”的双重身份,其运算包括线性运算与数量积,进行向量的运算,既要用好运算的定义、运算法则和运算性质,又要注意从“形”的角度分析,借助图形获取结论. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,引导学生探究向量的概念及其运算法则的应用,深化学生对向量的有关概念与运算法则的认识和理解,使学生充分认识到向量作为一种特殊的数学工具,概念及其运算有自身的特点,发展学生的数学抽象和逻辑推理等素养. 主题2　向量的基底法及转化与化归思想的应用  如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3,F为DE的中点,则·的值是 (　　) 例2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 在已知图形中寻找两个不共线向量作为基底,将问题进行转化. ∵=+=+=+(-)=-+=-,且=-=-,∴·=·=-·+.由已知可得=16,=36,·=||·||·cos∠BAC=12,∴·=4.故选C. C 变式训练2 如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·=　　　　.  变式训练2 用{,}作为基底,将表示出来,∵=,∴BD∶CD=1∶(-1),=+=+=+(-)=+,解得=-(-1),∴·=[-(-1)]·==. 点评总结　由平面向量基本定理可知,平面上的任一向量都可以用这个平面上的一组基底唯一地表示出来,因此,解决向量问题的一种重要的思路,就是运用“基底法”,选择一个适当的基底,将问题中的相关向量都用基底向量表示出来,将问题转化为对基底向量间的关系的研究,通过对基底向量的运算使问题获解. 设计意图　通过对本主题探索与研究,引导学生运用基底法求解向量的有关问题,使学生学会借助平面向量基本定理,通过向量的线性运算把所求向量的运算转化为两个基底向量的运算,通过对基底向量的运算解决问题,发展学生的数学运算与逻辑推理等素养. 主题3　平面向量基本定理与向量共线定理及函数与方程思想的应用  已知△AOB,点P在边AB上,且满足=2t+t(t∈R),则的值为　　　　.  由点P在边AB上,据平面向量基本定理可知=x+y,且x+y=1.由此结论可求得本题的结果. ∵=2t+t,∴=2t(-)+t,即=+,点P在边AB上,得A,P,B三点共线,∴+=1,解得t=1,则=+,∴=. 变式训练3 已知点O是△ABC的外接圆圆心,且AB=3,AC=4,若存在非零实数x,y,使得=x+y,且x+2y=1,则cos∠BAC=　　　　.  取边AC的中点D,则有=x+y=x+2y,而x+2y=1,得点B,O,D三点共线.已知点O是△ABC的外心,可得BD⊥AC,故有BC=AB=3,AC=4,求得cos∠BAC=. 点评总结　平面向量基本定理与向量共线定理是向量中的两个重要定理,也是平面向量及其应用中的核心知识,有着十分广泛的应用,这两个定理与向量的线性运算常常交汇在一起,解决向量问题时,常常是借助向量的线性运算将问题中涉及的向量用基底向量表示出来,再运用这种表示,建立参数满足的方程或函数关系,再通过解方程或研究函数的性质使问题获得解决. 设计意图　 通过对本主题的探索与研究,引导学生灵活地运用平面向量基本定理、向量的运算法则和向量共