第七章 7.3.2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

7.3复数的三角表示 课时6 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 学习目标 课程目标 学科核心素养 了解复数的三角形式的乘法运算,并理解其几何意义 通过复数的三角形式的乘法法则及其几何意义的探究,培养直观想象和逻辑推理等素养 了解复数的三角形式的除法运算,并理解其几何意义 通过复数的三角形式的除法法则及其几何意义的探究,培养直观想象和数学抽象等素养 能正确地求解复数与向量、三角函数有关的综合问题 在求解复数与向量、三角函数的综合问题的过程中,培养数学运算与逻辑推理等素养 情境导学 棣莫佛,1667年生于法国维特里，1754年卒于英国伦敦，是著名的数学家.17世纪90年代，他发表了第一篇数学论文“论牛顿的流数物理”，引起了学术界的关注.18世纪30年代，棣莫佛被选为柏林科学院院士．在他的学术研究中，有一个影响非常广泛的研究成果——棣莫佛公式：若， ，…， ，则… ＝ … [cos(＋ ＋…＋ )＋isin(＋ ＋…＋ )].特别地，如果＝ ＝…＝ ＝r()，那么＝ ().这个公式如何得到？ 初探新知 【活动1】 推导复数的三角表示的乘法法则 问题1 我们已经掌握＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，如果＝ ， ＝ ，你能计算出并将结果表示成三角形式吗？ 问题2 依据问题1中探究的结果，我们发现两复数的积仍为复数，你能发现积的模与两复数的模的关系吗？积的辐角与复数的辐角有什么关系？ 问题3 由复数乘法的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 初探新知 问题4 如果把复数z_1,z_2分别写成三角形式， ，你能利用学过的复数除法法则计算并将结果表示成三角形式吗？ 问题5 我们知道除法运算是乘法运算的逆运算．我们能否根据复数乘法运算的三角表示得到复数的除法运算的三角表示？ 【活动2】 推导复数的三角形式的除法法则 问题6 分析复数三角形式的除法所得商的结构，你能得到复数除法的几何意义吗？ 问题7 请你联系复数乘、除运算的三角表示的几何意义，总结复数乘、除运算的三角表示的几何意义与向量的关系是什么． 典例精析 【例1】 [教材改编题]已知，求. 【思路点拨】根据复数的三角形式的乘法法则计算即可． 【解】 ＝ ·＝ ＝ ＝ ＝i·＝ ＝i ＝i. 典例精析 【方法规律】 计算某复数的n次方，先把该复数写成三角形式，然后其模为原来模的n次方，其辐角为原来辐角的n倍，即＝ ＝ (). 典例精析 【变式训练1】已知，求. 【解】 典例精析 【例2】已知， ，求,并解释其几何意义． 【思路点拨】进行复数的除法运算时，若复数为三角形式，则直接用复数的三角形式的除法法则：＝ ＝ . 【解】 ＝ ＝ [＋ ]＝ ＝ i.其几何意义：在复平面内，首先作与复数对应的向量然后把向量绕点O按顺时针方向旋转，再把它的模缩小为原来的，这样得到的向量即为对应的向量． 典例精析 【方法规律】 (1) 进行复数的除法运算时，若复数为三角形式，则直接用除法法则． (2) 复数的三角形式的除法，其实质是向量的旋转和伸缩． 典例精析 【变式训练2】 计算(化为复数的代数形式)，并解释其几何意义. 【解】 ＝ ＝4[]＝i.其几何意义:在复平面内,作=(4,0),然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转,模不变,所得向量即为对应的向量. 典例精析 【例3】 复数＝1＋i， ＝2＋i， ＝3＋i，它们对应的辐角的主值分别为∠1，∠2，∠3，利用复数知识证明：∠1＋∠2＋∠3＝ . 【思路点拨】 根据复数的三角形式的乘法法则可知· · 的辐角的主值即为∠1＋∠2＋∠3. 【解】· · ＝(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝(1＋3i)(3＋i)＝10i，∵ · · 对应的辐角的主值为∠1＋∠2＋∠3，又复数10i的辐角的主值为 ，而0<∠1，∠2，∠3< ，∴∠1＋∠2＋∠3＝ . 典例精析 【方法规律】 将角对应于复数的辐角的主值，从而角的和可以对应复数的积的辐角的主值．涉及复数的乘法、除法、乘方运算时，常将复数的代数形式转化为三角形式，再利用其几何意义解决问题，这种解题思路具有方法的简便性和结果的简洁性． 典例精析 【变式训练3】 已知(cos+isin)2=i,θ∈[0,2π),求θ的值. 【解】i=cos(+2k)+isin(+2k)(k∈Z),(cos+isin)2=cos2θ+isin2θ.故2θ=+2kπ,即θ=+kπ(k∈Z),又∵θ∈[0,2π),∴k=0,1,θ=,. 典例精析 【例4】设复数z1,z2,z3在同时满足以下三个条件:① |z1|=|z2|=|z3|=1,② =z1z3,③ z2+iz3=i,求2argz1+argz2+argz3. 典例精析 【解】 由|z1|=|z2|=|z3|=1,可以设z1=co