8.3.2 第2课时 球的表面积和体积(深化课—题型研究式教学)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.3.2　第 2 课时　球的表面积和体积 (深化课—题型研究式教学)　 课时目标 1．了解并掌握球的体积和表面积公式． 2．会用球的表面积与体积公式解决实际问题． 1 2 目 录 题型(一)　球的截面问题 题型(二)　与球有关的切、接问题 2 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 题型(一)　球的截面问题 3．球的截面形状 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆． 4．球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； [答案]　B [方法技巧] (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． (2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理． 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题 处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题． (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． 题型(二)　与球有关的切、接问题 [例1]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． [解]　设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示． [答案]　B 角度(三)　球与旋转体的切接问题 球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． [例3]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 (　 ) A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：d＝. [典例]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 (　 ) A.π B．4π C．4π D．6π [解析]　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1. ∴OM＝＝，即球的半径为. ∴V＝π()3＝4π. [针对训练] 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，则球的表面积是_______，体积是______． 答案：400π　π 解析：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1＝R. 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°. ∴O1是AB的中点，即O1A＝5.又OO＋O1A2＝OA2，∴2＋52＝R2. ∴R2＝100，R＝10.∴球的表面积S球＝4πR2＝4π×102＝400π，球的体积V球＝πR3＝π×103＝π. 所以2r1＝a，r1＝，S1＝4πr＝πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)． 所以2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示． 则2r3＝a，∴r3＝a，S3＝4πr＝3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 角度(二)　球与其他多面体的切接问题 特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝. [例2]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 (　 ) A．πa2　　B.πa2　　C.πa2　　D．5πa2 [解析]　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2. 故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2. (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________． [答案]　(1)C　(2) [解析]　(1)如图，BE＝BO2