空间向量与立体几何

人教A版高中数学新课标教材 选择性必修（第一册） 第一章《空间向量与立体几何》 教学分析及建议 七个方面交流分享 1、本章教材课程标准的要求与课程目标分析 2、本章教材在高中数学教学中的地位与作用 3、本章内容结构与前后知识的横纵联系 4、本章教材内容的重难点以及突破方法 5、学生学习中出现的问题以及解决方法 6、教学感悟、体会与教学建议 7、如何在教学中体现大单元设计思想 一、本章教材课程标准的要求与课程目标分析 本章属于《普通高中数学课程标准（2020年版）》中选择性必修课程主题二“几何与代数”主线的内容。本主题的研究对象是几何图形，所用的方法主要是代数方法。学生将在必修第二册“平面向量”和“立体几何初步”的基础上，利用类比的方法经历向量及其运算由平面向空间的推广过程；探索空间向量与平面向量的共性与差异，引发学生思考维数增加所带来的的影响，鼓励学生运用向量的方法和综合几何方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法的优势；引导学生体会向量基本定理的本质，感悟“基”的思想，并运用它解决几何问题。侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养。 二、本章教材在高中数学教学中的地位与作用 向量理论具有深刻的数学内涵，丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。 三、本章内容结构与前后知识的横纵联系 1. 内容安排的变化 新教材在选择性必修（第一册）第一章安排了空间向量与立体几何。内容包括：第一节空间向量及其运算；第二节空间向量基本定理；第三节空间向量及其运算的坐标表示；第四节空间向量的应用。 原教材该内容分布在必修2第四章圆与方程的第三节空间直角坐标系，以及选修2-1中第三章空间向量与立体几何（第一节空间向量及其运算，第二节立体几何中的向量方法） 新教材把空间向量基本定理拿出来成为独立的一节，明显突出了空间向量基本定理的重要地位。 2. 概念表述及公式的变化 （1） 原教材中空间直角坐标系的建立、空间中点的坐标及空间两点间的距离公式是以几何图形为背景建立的；而新教材中则是以向量为背景建立的。 （2） 新教材中引入“投影向量的概念”，包含一个向量在另一个向量上的投影向量，一个向量在一条直线的投影向量，一个向量在一个平面的投影向量，来研究空间中距离问题，增加了“点到直线的距离”、“点到平面的距离”等知识的考查，引入了“平面与平面的夹角”这一概念。 （3） 新教材非常系统的给出了点线距、点面距、两条异面直线所成的角、线面角、面面角的向量求法及具体公式。 3.例题及习题的变化 与原教材相比，新教材中增加了利用空间向量基本定理及向量的运算求线段长度、判定线线位置关系及异面直线所成的角的例题；坐标法中增加了求平面的法向量、求距离以及开放性等题目的设置。例题及习题的数量和难度均有所增加。 教材例题增设内容：教材P13 例2 教材P13 例3 教材P32 例4 教材P28 例1 教材P30 例3 教材P34 例6 教材P37 例8 教材P42 练4. 必修二 教材 练习 这是必修二的一个练习题，在这里选择性必修一习题1.4重新给出，教师教学用书用基底证明了这里的线面平行。 前后知识的横纵联系 1.关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架 空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁。本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性，突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。 空间向量的概念来源于现实生活，在数学中，以位移、速度等为背景，抽象出空间向量的概念，然后定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间。 一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律。具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理，为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，发挥“基本”作用。 从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底分别过点O作平行于向量的数轴，就可以建立由确定的空间直角坐标系。 在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以把几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”，进一步得到用空间向量方法解决立体几何中问题的“三步曲”。 基于以上分析，教材构建了“空间向量与立体几何”的研究框架： 背景——空间向量的概念—