三角形的四心与几种特殊的三角形

第X节 三角形 山东五莲中学 李治国 【衔接内容揭秘】 三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）和特殊三角形的一般定理和结论在初中大都没有学习，而它们在向量、三角函数、立体几何、解析几何等方面有着极其广泛的应用，是学习这些模块的必备基础. 【学习目标分析】 【知识目标】理解三角形“四心”的概念，掌握三角形“四心”的性质，并能够正确应用其解决相应问题；掌握特殊三角形的性质和结论，在解决三角形问题时能正确应用. 【能力目标】识图构图用图能力的培养；渗透类比，分类讨论等思想方法. 【情感目标】积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 【学习情境创设】 通过展示图片引申三角形四心问题,点明四心在高中数学中的应用,激发学生的深入探究欲望,从而强化三角形四心的作用. 【知识方法归纳】 知识点一：三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图1 ，在三角形 中，有三条边 ，三个角 ，三个顶点 ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段. (1)重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.（如图3） （2）内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图4） （3）垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图5） （4）外心：过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. (如图6) 注：三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边. 知识点二：几种特殊的三角形 （1）等腰三角形：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. （2）正三角形：正三角形三