专题11 等差数列与等比数列（思维导图+知识梳理+方法技巧+易混易错）-【口袋书】2024年高考数学一轮复习知识清单（新高考专用）

专题11 等差数列与等比数列 一、知识速览 二、考点速览 知识点1 数列的有关概念 1、数列的定义及表示 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 知识点2 等差数列的概念及公式 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． （3）等差数列与函数的关系 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列． ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0. 知识点3 等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 2、等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. 知识点4 等比数列的概念及公式 1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 知识点5 等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理. 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，，，…则该数列的第211项为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式不可能是（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…； （2） （3）； （4） 二、数列周期性解题策略 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即