专题07 双曲线-【中职专用】高二数学同步必备知识清单（高教版2021•拓展模块一 上册）

专题07 双曲线 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【题型1 双曲线的定义】 【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】 【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】 【题型4 判断方程是否表示双曲线】 【题型5 根据方程表示双曲线求参数】 【题型6 求双曲线方程】 【题型7 等轴双曲线】 【题型8 直线与双曲线的位置关系】 【题型9 求弦长】 【题型10 双曲线与渐近线的关系】 【题型1 双曲线的定义】 一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【典例1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【题型2 利用双曲线的定义求标准方程】 【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【题型3 利用双曲线定义求点到焦点距离】 【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【题型4 判断方程是否表示双曲线】 【典例1】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 【题型5 根据方程表示双曲线求参数】 【典例1】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 求双曲线方程】 【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【题型7 等轴双曲线】 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 【题型8 直线与双曲线的位置关系】 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为 ． 【题型9 求弦长】 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【典例1】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 【题型10 双曲线与渐近线的关系】 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【典例1】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A．