专题06 双曲线及其性质（4大考点11种题型）（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题06 双曲线及其性质（考点清单） 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【解题方法总结】 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 01 双曲线的标准方程 【考试题型1】双曲线的定义 【解题方法】判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 【典例1】（2023·陕西渭南·高二白水县白水中学校考阶段练习）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 【专训1-1】（2023·高二课时练习）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【专训1-2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（    ） A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 【考试题型2】双曲线的标准方程 【解题方法】求双曲线的标准方程 （1）用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． （2）当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． （3）若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0． （4）与椭圆＋＝1（a>b>0）有公共焦点的双曲线方程为＋＝1（－a2<λ<－b2）；与椭圆＋＝1（a>b>0）有公共焦点的双曲线方程为＋＝1（－a2<λ<－b2）． 与双曲线－＝1（a>0，b>0）有公共焦点的双曲线方程为－＝1（－a2<λ<b2）；与双曲线－＝1（a>0，b>0）有公共焦点的双曲线方程为－＝1（－a2<λ<b2）． 【典例2】（2023·江苏淮安·高二统考期中）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： （1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程； （2）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【专训2-1】（2023·全国·高二专题练习）已知为曲线的一个焦点，分别根据下列条件，求满足条件的曲线的标准方程． （1）若为双曲线，点在的一条渐近线上； （2）若为椭圆，点在上． 【专训2-2】（2023·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线标准方程： （1）与双曲线共焦点，经过点； （2）经过点和； 【考试题型3】双曲线在生活中的应用 【解题方法】利用双曲线解决实际问题的基本步骤 （