课时跟踪检测（24）棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（二十四） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 A级——综合提能 1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于(　 ) A．12 B．48 C．64 D．72 解析：选D　该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D. 2.如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为VC-A′B′C′＝V柱＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝. 3．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　 ) A．6 B．12 C．24 D．48 解析：选D　正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.故选D. 4.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　 ) A. B．5 C．6 D. 解析：选D　连接EB，EC(图略)，将多面体分为两部分．不妨设EF⊥FB，EF⊥FC，则多面体的体积为V＝V1＋V2＝S1h1＋S2h2＝×＝. 5．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是(　 ) A．1∶5 B．1∶23 C．1∶11 D．1∶47 解析：选D　正方体的体积为1，截得的三棱锥的体积为××××＝，所以剩下部分的体积为1－＝.所以截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是∶＝1∶47. 6．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝，yz＝，xz＝，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝. 答案： 7．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为________________． 解析：设正四棱锥的高为h，侧面三角形的高为h′，由题意，得h′＝＋1(舍负)，所以该正四棱锥的侧面积为S＝4××4×h′＝8. 答案：8(＋1) 8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体BB1C1CEF的体积为________． 解析：在△ABC中，BC边上的高h＝＝2. V三棱柱ABC-A1B1C1＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36. ∵EF＝3，A1A＝B1B＝6， ∴V三棱锥EABC＋V三棱锥FA1B1C1＝ V三棱柱ABC-A1B1C1＝6. 故V多面体BB1C1CEF＝36－6＝30. 答案：30 9.如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积． 解：由已知条件可知，正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为. 所以该三棱锥的体积为××1＝. 设O′是正三角形ABC的中心． 由正三棱锥的性质可知，OO′⊥平面ABC. 延长AO′交BC于D，连接OD，得AD＝，O′D＝. 又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝. 故侧面积为3××2×＝2. 所以该三棱锥的表面积为＋2＝3， 因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3. 10.如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． 解：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′， 设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 又棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h，因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′＝×Sh＝Sh，剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5. B级——应用创新 11．(2022·新课标Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　 ) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 解析：选C　如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)