课时跟踪检测（11）平面向量及其应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时跟踪检测（十一） 平面向量及其应用 1．已知△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos A＝.若D为边BC上的动点，则·的取值范围是(　 ) A．[4，12] B．[8，16] C．[4,16] D．[2,4] 解析：选C　由题意得＝λ＋(1－λ)，0≤λ≤1，·＝·[λ＋(1－λ) ]＝λ2＋(1－λ)||||cos A＝16λ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4,16]． 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围是(　 ) A. B. C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选C　因为|a|＝1，a与b的夹角为， 所以a·b＝|b|cos＝|b|. 把|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方， 整理可得x2＋2|b|x＋3|b|2－|b|－1≥0， 所以Δ＝4|b|2－4(3|b|2－|b|－1)≤0， 即(|b|－1)(2|b|＋1)≥0，解得|b|≥1. 3．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝2be1－e2，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　 ) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：选A　因为A，B，C三点共线，所以向量，共线， 所以存在λ∈R，使得＝λ，即(a－1)e1＋e2＝λ(2be1－e2)， 即(a－1)e1＋e2＝2λbe1－λe2， 因为e1，e2不共线，所以消去λ，得a＋2b＝1， 因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2×2＝8， 当且仅当a＝，b＝时，等号成立． 4．对任意非零向量a，b，定义新运算：a×b＝.已知非零向量m，n满足|m|>3|n|，且向量m，n的夹角θ∈，若4(m×n)和4(n×m)都是整数，则m×n的值可能是(　 ) A．2 B．3 C．4 D. 解析：选B　由题意可得n×m＝＝(k∈Z)．因为|m|>3|n|>0，所以0<<.因为θ∈，所以<sin θ<1.所以0<sin θ<，即0<<，解得0<k<.因为k∈Z，所以k＝1.所以n×m＝＝.则＝4sin θ，则＝<，得<sin θ<1，故m×n＝＝4sin2θ∈，符合该条件的是3. 5．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则·的最小值是(　 ) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：选C　以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1，)，B(2,0)，设E(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤120°，·＝(－1－cos θ，－sin θ)·(2－cos θ，－sin θ)＝(－1－cos θ)·(2－cos θ)－(－sin θ)·sin θ＝－sin θ－cos θ－1＝－2sin(θ＋30°)－1，所以当θ＝60°时，·取得最小值－2－1＝－3. 6．(多选)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　 ) A．||＝|| B．||＝|| C.·＝· D.·＝· 解析：选AC　因为||＝＝1，||＝＝1，所以A项正确．因为||＝，||＝＝，当α＝，β＝时，||≠||，所以B项错误．因为＝(1,0)，＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以C项正确．因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(β＋α＋β)≠cos α，所以D项错误．故选A、C. 7．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝________. 解析：因为a＝(2sin 13°，2sin 77°)，所以|a|＝＝＝2.又因为|a－b|＝1，向量a与a－b的夹角为，所以cos ＝＝＝＝，所以a·b＝3. 答案：3 8．已知A，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________. 解析：由题意知＝＝(sin α，cos β)，∴sin α＝－，cos β＝.又∵α，β∈，∴α＝－，β＝或β＝－.∴α＋β＝或α＋β＝－. 答案：或－ 9．定义a*b是向量a和b的“向量积”，其长度为|a*b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a和b的夹角．若a＝(2,0)，b＝(1，)，则|a*(a＋b)|＝________. 解析：因