4.3.1 第2课时相关系数、非线性回归-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

第2课时　相关系数、非线性回归 情境导入 课程标准 　　设某幼苗从观察之日起,第x天的高度为y cm,测得的一些数据如下表所示。 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 　　作出这组数据的散点图,并通过散点图思考:近似描述y与x的关系,除使用一次函数外,还可以用其他函数吗?具体应该怎样操作? 1.通过对典型案例的探究,了解相关系数的意义。 2.会利用相关系数判断回归直线方程建立的必要性。 自主预习明新知 　 知识点一、相关系数 计算 性质 范围 |r|≤1 线性相关性 |r|越接近1,两个变量之间的线性相关性越强 |r|越接近0,两个变量之间的线性相关性越弱 知识点二、非线性回归 非线性回归问题有时并不给出回归方程,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量变换,把问题转化为线性回归来分析问题,使之得到解决。其一般步骤为: 微提醒 　　特殊的回归方程也可以线性化 (1)将幂函数型函数y=axn(a为常数,a,x,y均取正值)化为线性函数: 将y=axn两边取常用对数,则有lg y=nlg x+lg a,令μ=lg y,v=lg x,b=lg a,代入上式得μ=nv+b(其中n,b是常数),其图像是一条直线。 (2)将指数型函数y=cax(a>0,c>0,a,c为常数)化为线性函数:将y=cax两边取常用对数,则有lg y=xlg a+lg c,令μ=lg y,b=lg c,d=lg a,代入上式得μ=dx+b(d,b是常数),它的图像是一条直线。 合作探究攻重难 　 类型一　相关系数应用 　　【例1】　某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量x(单位:mg/L)与消光系数y读数的结果如下: 尿汞含量x 2 4 6 8 10 消光系数y 64 138 205 285 360 (1)画出散点图; (2)求回归直线方程。 解　(1)散点图如图所示。 (2)由图可知y与x的样本点大致分布在一条直线周围,因此可以用回归直线方程拟合。设回归直线方程为=x+,由已知表格中的数据,利用计算器得=6,=210.4,xiyi=7 790,=220,则==36.95,=-=-11.3,故所求的回归直线方程为=36.95x-11.3。 　　在判断相关性强度时,有时也用作散点图的方法,观察所给的数据构成的点是否在一条直线的附近,这样做既直观又方便,因而对解决相关性问题比较常用,但在作图中,由于存在误差,有时又很难说这些点是不是分布在一条直线的附近,这时就很难判断两个变量之间是否具有相关关系,这时就必须利用线性相关系数对其进行相关性检验,计算中应该特别细心,不能出现计算的错误。 【变式训练】　下面的数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本,分别测定了心脏的功能水平y(满分100)以及每天花在看电视上的平均时间x。 看电视的 平均时间x/时 4.4 4.6 2.7 5.8 0.2 4.6 心脏的功能水平y/分 52 53 69 57 89 65 　　求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的线性相关系数r。(结果保留两位小数) 解　n=6,=×(4.4+4.6+…+4.6)≈3.72,=×(52+53+…+65)≈64.17,-6()2=(4.42+4.62+…+4.62)-6×3.722≈19.62,-6()2=(522+532+…+652)-6×64.172≈962.27,xiyi-6 =(4.4×52+4.6×53+…+4.6×65)-6×3.72×64.17≈-125.97。心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的线性相关系数r=≈≈-0.92。 类型二　非线性回归问题 　　【例2】　(1)在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx+a的周围,令=ln y,求得回归直线方程为=0.25x-2.58,则该模型的回归方程为 =e0.25x-2.58 。  解析　因为=0.25x-2.58,=ln y。所以=e0.25x-2.58。 (2)在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表: x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 　　试建立y与x之间的回归方程。 解　由数值表可作散点图如图。 根据散点图可知y与x具有反比例函数关系,设y=,令t=,则y=kt,原数据变为: t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12