4.2.5 正态分布-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

4.2.5　正态分布 情境导入 课程标准 　　在医学领域,有不少医学现象服从或近似服从正态分布,如同性别、同年龄儿童的身高和体重,同性别健康成人的红 细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等。在这类情形下,利用正态分布可以很容易地确定其数值出现在任意指定范围内的概率,尤其是医学参考值范围内的估计。 1.通过实际问题,了解什么是正态曲线和正态分布。 2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义。 3.会根据正态曲线的性质求随机变量X在某一范围内的概率。 自主预习明新知 　 知识点一、正态曲线 1.定义:一般地,φ(x)=对应的图像称为正态曲线(或“钟形曲线”),φ(x)常记为φμ,σ(x),其中μ和σ为参数:(μ=E(x),σ=)。 2.正态曲线性质。 (1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点; (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1; (3)曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (4)曲线在x=μ处达到峰值; (5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①; (6)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”,如图②。 　 ① ② 知识点二、正态分布 1.一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2),此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数。更进一步的研究表明,此时μ是X的均值,而σ是X的标准差,σ2是X的方差。 2.3σ原则。 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈2.68.3%; P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%; P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%; 由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997,知正态总体几乎总取值于区间[μ-3σ,μ+3σ]之内。而在此区间以外取值的概率只有0.003,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]之间的值,并简称之为“3σ原则”。 知识点三、标准正态分布 1.μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布。 2.如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X<a),Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围的面积,如图所示。 3.Φ(a)性质:Φ(-a)+Φ(a)=1。 微提醒 　　(1)正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布,因此,我们要熟练掌握这种概率模型,并能灵活地运用它分析解决实际问题,其中正态曲线的特点以及“3σ原则”应熟练掌握。 (2)正态分布重点要掌握正态曲线的性质,熟悉“3σ原则”,会利用“3σ原则”解决简单的问题,特别要注意数形结合思想在求概率中的运用。 合作探究攻重难 　 类型一　正态曲线图像的应用 　　【例1】　如图所示是一个正态分布的图像,试根据该图像写出正态分布密度函数的解析式,求出随机变量总体的均值和方差。 解　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以μ=20。由=,解得σ=。于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)=,x∈(-∞,+∞),随机变量总体的均值μ=20,方差σ2=()2=2。 　　利用图像求正态分布密度函数的解析式,应抓住图像的两个实质性特点:一是对称轴为x=μ,二是最大值为。这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入f(x)中便可求出相应的解析式。 【变式训练】　(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差的正态分布密度曲线,则下列说法正确的是 (ACD) A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B.三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙 C.三种品牌的手表日走时标准差从小到大依次为甲、乙、丙 D.三种品牌手表中甲品牌的质量好 解析　由题中图像可知三种曲线总体的平均数(均值)相等。由正态密度曲线的性质(σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中),可知三种品牌的手表日走时标准差从小到大依次为甲、乙、丙,故选ACD。 类型二　利用正态分布求概率 　　【例2】　设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1)。 (1)求c的值; (2)求P(-4≤X≤8); (3)求P(5<X≤8)。 解　(1)解法一:由X~N(2,9),可知密度函数关于直线X=2对称(如图所示), 又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2。 解法二:=2,即