4.2.3 二项分布与超几何分布-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

4.2.3　二项分布与超几何分布 情境导入 课程标准 　　伯努利分布又名两点分布或0-1分布,是一个离散型概率分布。若伯努利试验成功,则伯努利随机变量取值为1,若伯努利试验失败,则伯努利随机变量取值为0。超几何分布是统计学上的一种离散型分布。它描述了从有限N个物件中抽出n个物件(n≤N),成功抽出该指定种类的物件次数的概率分布。 1.理解n次独立重复试验的模型及其意义。 2.会求n次独立重复试验及二项分布的概率。 3.掌握超几何分布的特点,并能简单的应用。 自主预习明新知 　 知识点一、n次独立重复试验 1.定义:在相同条件下,重复地做n次伯努利试验,这n次伯努利试验也称为n次独立重复试验。 2.性质:n次伯努利试验之间是相互独立的。 3.概率公式:一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},则P(X=k)=pk(k=0,1,2,…,n)。 知识点二、二项分布 事件A发生的次数设为n,事件A发生的概率为p,不发生的概率为q=1-p,则n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X的分布列如下表所示。 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0 　　由于表中的第二行中的概率都是二项展开式(q+p)n=p0qn+p1qn-1+…+pkqn-k+…+pnq0中的各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p)。 知识点三、超几何分布 1.定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中任取n件 (n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=,k=t,t+1,…,s,这里X称为服从参数为N,n,M的超几何分布。记作X~H(N,n,M)。 2.性质:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示。 X 0 1 … k … s P … … 微提醒 　　(1)独立重复试验中,每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生,要么不发生),并且在任何一次试验中,事件发生的概率均相等。 (2)独立重复试验是相互独立事件的特例,题目中发现有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,要弄清n,p,k的意义。 微思考 　　(1)两点分布与二项分布的联系是什么? 提示:①两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能的结果。②两点分布是n=1的二项分布。 (2)在试验中二项分布与超几何分布的主要区别是什么? 提示:主要区别在于有无放回。若有放回,则为二项分布,主要确定参数n,p;若无放回,则为超几何分布,主要确定参数N,M,n。 合作探究攻重难 　 类型一　n次独立重复试验的概率 　　【例1】　甲足球队与乙足球队举行对抗赛,甲队获胜的概率为0.6,现双方商量对抗赛的方式,提出了两种方案:①双方进行3场比赛;②双方进行5场比赛。两种方案中均以比赛中得胜场数多的一方为胜利,问对乙队来说,哪一种方案更有利? 解　由题意可知,双方进行n场比赛相当于n次独立重复试验,由n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式,对乙队而言,在3场比赛中获胜的概率为P1=P3(2)+P3(3)=×(1-0.6)2×0.6+×(1-0.6)3×0.60=0.352。乙队在5场比赛中获胜的概率为P2=P5(3)+P5(4)+P5(5)=×(1-0.6)3×0.62+×(1-0.6)4×0.61+×(1-0.6)5×0.60=0.230 4+0.076 8+0.010 24=0.317 44。因为P1>P2, 所以对乙队而言,采用方案①获胜的可能性要大一些。 　　(1)解决实际问题的首要工作就是根据实际问题的特点和所学概型的特点进行比对,找到二者之间的一致性,从而确定其数学模型,进而使问题获解。 (2)利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=pkqn-k的三个条件。 【变式训练】　某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第二位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且第3次预报准确的概率。 解　(1)记预报一次准确为事件A,则P(A)=0.8。5次预报相当于5次独立重复试验,2次准确的概率为P=