4.2.2 离散型随机变量的分布列-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

4.2.2　离散型随机变量的分布列 情境导入 课程标准 　　 在射击运动中,运动员射击一次,可能出现不中靶,命中1环,…,命中10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数,你知道该运动员命中环数X的概率分布情况吗? 1.理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,并能写出离散型随机变量的可能取值。 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质,并能解释其意义。 3.理解两点分布的概念及特点。 自主预习明新知 　 知识点一、离散型随机变量X的分布列 1.一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是已知的。离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的概率分布或分布列。 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 　　2.离散型随机变量X的概率分布还可以用下图表示。 知识点二、离散型随机变量的性质 1.pk≥0,k=1,2,3,…,n; 2. =p1+p2+…+pn=1。 知识点三、两点分布 1.表格形式(其中0<p<1)。 W 1 0 P p 1-p 2.两点分布定义:一般地,如果随机变量的分布列能写成上述表格的形式,则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布)。 3.伯努利试验:一个所有可能结果只有两种的随机试验,通常称为伯努利试验。 4.两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的p也常被称为成功概率。 微提醒 　　(1)离散型随机变量的分布列能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础。 (2)由离散型随机变量分布列的概念可知,离散型随机变量各个可能值表示的事件是彼此互斥的,因此,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 合作探究攻重难 　 类型一　求离散型随机变量的分布列 　　【例1】　一袋中装有完全相同的黑球和白球共9个,从中任取2个都是白球的概率为。现甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,每次取1个球,取出的球不放回,直到其中一人取到白球时终止,用X表示取球终止时取球的总次数。 (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量X的分布列。 解　(1)设袋中原有n个白球,则从9个球中任取2个球都是白球的概率为,由题意知=,化简得n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),故袋中原有6个白球。 (2)由题意知,X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, P(X=4)==。所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 　　求离散型随机变量分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi; (3)列成表格。 其中第(1)步是基础,第(2)步是关键。 注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确。 【变式训练】　将3个小球任意放入4个大玻璃杯中,杯子中球的最多个数记为X,求X的分布列。 解　依题意可知,杯子中球的最多个数X的所有可能取值为1,2,3。当X=1时,对应于4个杯子中恰有3个杯子各放1个球的情形;当X=2时,对应于4个杯子中恰有1个杯子放2个球的情形;当X=3时,对应于4个杯子中恰有1个杯子放3个球的情形。P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==。故X的分布列为 X 1 2 3 P 类型二　离散型随机变量的分布列性质的应用 　　【例2】　(1)设离散型随机变量X的分布列如表: X 1 2 3 4 P p 　　则p等于 (D) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　由题意得+p++=1,所以p=。 (2)随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P的值为 (D) A. B. C. D. 解析　因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,即+++=1,所以a1-+-+-+-=1,即a=1,解得a=。所以P=P(X=1)+P(X=2)=+=a1-+-=×=。 　　【互动探究】　(1)(变换条件、改变问法)本例(2)中将条件(n=1,2,3,4)改为n∈N*,其他条件不变,则常数a的范围是 (1,2] 。  解析　由分布列的性质,得a++…+=1,即a=1,所以a==1+,又n∈N*,故1<a≤2。 (2)(