4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

4.2　随机变量 4.2.1　随机变量及其与事件的联系 情境导入 课程标准 　　创建全国文明城市主要测评项目包括:廉洁高效的政务环境、公正公平的法治环境、 规范守信的市场环境、健康向上的人文环境、安居乐业的生活环境、可持续发展的生态环境、扎实有效的创建活动,共七大项、37个子项、119个小项,分值为100分。国家验收部门决定对某城市随机抽取10个子项进行突击抽查,抽到的项目只要有一个不同就认为是不同的实验结果,记样本空间为Ω。 (1)Ω中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的项目中可持续发展的生态环境中的子项的个数为X,则X的取值是固定不变的吗?如果不是,X的取值有哪些? 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义。 2.能用随机变量表示事件。 3.会用离散型随机变量描述随机现象。 自主预习明新知 　 知识点一、随机变量的概念 1.一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都对应有唯一确定的实数值,就称X为一个随机变量。 2.随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示。 3.随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围。 4.若随机变量其所有可能的取值都可以一一列举出来,则称该随机变量为离散型随机变量。 5.若随机变量其所有可能的取值范围包含一个区间,则称为连续型随机变量。 知识点二、用随机变量表示事件 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且: (1)当a≠b时,事件X=a与X=b互斥; (2)事件X≤a与X>a相互对立,因此P(X≤a)+P(X>a)=1。 知识点三、随机变量之间的关系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量。由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b)。 微提醒 　　离散型随机变量的特征 (1)可用数值表示。 (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值。 (3)试验之前不能确定取何值。 (4)试验结果能一一列出。 注意:本章研究的离散型随机变量只取有限个值。 合作探究攻重难 　 类型一　随机变量的概念 　　【例1】　下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由。 (1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量; (2)某单位办公室一天中接到电话的次数; (3)2022年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间; (4)体积为1 000 cm3的球的半径长。 解　(1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量。 (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量。 (3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随机变量。 (4)球的体积为1 000 cm3时,球的半径为定值,不是随机变量。 　　随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同。 (2)随机试验的结果具有不确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 如果一个随机试验的结果对应的变量满足以上两点,则该变量即为随机变量。 【变式训练】　指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由。 (1)任意掷一枚均匀硬币5次,出现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状态下,水在0 ℃时结冰。 解　(1)任意掷一枚硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此投掷5次硬币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,是随机变量。 (2)投一颗骰子出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量。 (3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化而变化,不是随机变量。 (4)标准状态下,在0 ℃时水结冰是必然事件,不是随机变量。 类型二　随机变量表示事件 　　【例2】　小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张。他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和。写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果。 解　X的可能取值为6,11,15,21,25,30。其中,X=6表示抽到的是1元和5元;X=11表示抽到的是1元和10元;X=15表示抽到的是5元和10元;X=21表示抽到的是1元和20元;X=25表示抽到的是5元和20元;X=30表示抽到的是10元和20元。 　　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能