3.1.2 第2课时排列数的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

第2课时　排列数的应用 情境导入 课程标准 　　经历了6月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了。大学录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分。 大学录取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校。 假如你在第一批本科院校中比较满意其中的8所学校,在填写第一批院校时只允许填报其中的5所学校,那么有多少种填报院校的方式?这样的排列问题能否用公式表示呢? 1.加深对排列概念的理解。 2.能够用排列数公式解决简单的实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、排列应用题的解法 1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、对象分析法,在实际进行排列时一般采用特殊对象优先原则,即先安排有限制条件的对象或位置,对于分类过多的问题可以采用间接法。 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法。 知识点二、解决排列问题的基本步骤 合作探究攻重难 　 类型一　无限制条件的排列问题 　　【例1】　(1)有6本不同的书,从中选4本送给4名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有6种不同的书,要买4本送给4名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 解　(1)从6本不同的书中选4本送给4名同学,相当于从6个元素中任取4个元素的一个排列,所以共有=6×5×4×3=360(种)不同的送法。 (2)从6种不同的书中买4本书,这4本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有6×6×6×6=1 296(种)不同的送法。 　　典型的排列问题,用排列数计算其排列方法数;若不是排列问题,需用计数原理求其方法种数。排列的概念很清楚,要从“n个不同的对象中取出m个对象(m≤n)”。即在排列问题中对象不能重复选取,而在用分步乘法计数原理解决的问题中,对象可以重复选取。 【变式训练】　将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上,每辆汽车分别配有一位司机和一位售票员,则不同的分配方案共有 576 种。  解析　解决这个问题可以分为两步:第一步,把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上,有种方法;第二步,把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上,也有种方法。根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有=576(种)。 类型二　数字排列问题 　　【例2】　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字? (1)六位奇数; (2)个位数字不是5的六位数; (3)不大于4 310的四位偶数。 解　(1)第一步,排个位,有种排法;第二步,排十万位,有种排法;第三步,排其他位,有种排法。故共有=288(个)六位奇数。 (2)解法一(直接法):十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类。第一类,当个位排0时,有个;第二类,当个位不排0时,有个。故符合题意的六位数共有+=504(个)。 解法二(排除法):0在十万位或5在个位的排列都是不符合题意的六位数,这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况。故符合题意的六位数共有-2+=504(个)。 (3)分三种情况,具体如下:①当千位上排1,3时,有个。②当千位上排2时,有个。③当千位上排4时,形如4 0××,4 2××的各有个;形如41××的有个;形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数。故共有++2++2=110(个)。 　　数字排列问题是排列问题的重要题型,解题时要着重注意从附加限制条件入手分析,找出解题的思路。常见附加条件有:(1)首位不能为0;(2)有无重复数字;(3)奇偶数;(4)某数的倍数;(5)大于(或小于)某数。 【变式训练】　在由1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 (B) A.36个 B.24个 C.18个 D.6个 解析　数字之和为奇数有两种可能,①“三奇”,可组成数字=6(个);②“两偶一奇”,可组成数字3×=18(个)。由分类加法计数原理得各位数字之和为奇数的共有6+18=24(个)。 类型三　“相邻”“不相邻”问题 　　【例3】　3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的种数。 (1)全体站成一排,男生必须排在一起; (2)全体站成一排,男生不能排在一起; (3)全体站成一排,甲、乙中间必须有两人。 解　(1)(捆绑法)把所有男生视为一个元素,与4名女生共5个元素全排列,故N==720(种)。 (2)(插空法)先排女生有种排法,再将男生插在4个女生隔成的5个空中,有种排法,故N==1 440(种)。 (3)(捆绑法)先从甲、乙两人之外的5人中选两人站在甲、乙两人之间,有种排法;甲、乙两人可交换位置有种排法;将这4人看成一个整体,与余下3人全排列,有种排法。故由分步乘法计数原理,有=9