课时达标检测(15) 基本初等函数的导数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十五)　基本初等函数的导数 基础达标 一、单项选择题 1.若函数f (x)=cos x,则f '+f 的值为 (A) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析　f '(x)=-sin x,所以f '+f =-sin+cos=0。 2.已知f (x)=xα,若f '(-1)=-4,则α的值为 (A) A.4 B.-4 C.5 D.-5 解析　因为f '(x)=αxα-1,f '(-1)=α(-1)α-1=-4,所以α=4。 3.曲线f (x)=x3的斜率等于1的切线有 (B) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 解析　因为f '(x)=3x2,设切点为(x0,f (x0)),则3=1,得x0=±,即在点和点-,-处有斜率为1的切线。所以曲线f (x)=x3的斜率等于1的切线有2条。 4.已知f (x)=2x,g(x)=ln x,则方程f (x)+1=g'(x)的解为 (B) A.1 B. C.-1或 D.-1 解析　由g(x)=ln x,得x>0,且g'(x)=。故2x+1=,即2x2+x-1=0,解得x=或x=-1(舍去)。故选B。 5.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为 (B) A. B. C. D. 解析　因为s'=,所以当t=4时,s'=×=。 6.正弦曲线y=sin x上一点P,以P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 (A) A.0,∪,π B.[0,π) C., D.0,∪, 解析　因为y'=cos x,而cos x∈[-1,1]。所以直线l的斜率的范围是[-1,1],所以直线l倾斜角的范围是0,∪π,π。 二、多项选择题 7.下列结论中,正确的是 (ACD) A.若y=,则y'=- B.若y=,则y'= C.若y=,则y'=-2x-3 D.若f (x)=3x,则f '(1)=3 解析　由(xn)'=nxn-1知,选项A,y==x-3,则y'=-3x-4=-;选项B,y==,则y'=≠;选项C,y==x-2,则y'=-2x-3;选项D,由f (x)=3x,知f '(x)=3,所以f '(1)=3。所以选项A,C,D正确。 8.曲线y=在点P处的切线方程与直线y=x垂直,则点P的坐标可以是 (AB) A. B. C. D. 解析　y'='=-,由-=-4,解得x=±。所以P点的坐标为或。 三、填空题 9.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为 (,) 。  解析　y'='=-2x-3,设P(x0,y0),则-2=tan 135°=-1,解得x0=。此时y0=。故P点坐标为(,)。 10.若曲线y=xα+1(α∈Q,且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点,则α= 2 。  解析　因为y'=αxα-1,所以y'|x=1=α,所以切线方程为y-2=α(x-1),即y=αx-α+2。又该切线过点(0,0),所以α=2。 11.设f 0(x)=sin x,f 1(x)=f '0(x),f 2(x)=f '1(x),…,f n+1(x)=f 'n(x),n∈N,则f 2 022(x)= -sin x 。  解析　因为f 0(x)=sin x,所以f 1(x)=f '0(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f '1(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f '2(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f '3(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,所以f 2 022(x)=f 2(x)=-sin x。 四、解答题 12.求下列函数的导数。 (1)y=x-5; (2)y=4x; (3)y=; (4)y=sin+x; (5)y=cos(2π-x)。 解　(1)y'=(x-5)'=-5x-6。 (2)y'=(4x)'=4xln 4。 (3)因为y=··=,所以y'=。 (4)因为y=sin+x=cos x,所以y'=-sin x。 (5)因为y=cos(2π-x)=cos x,所以y'=-sin x。 13.(1)求过曲线y=ex上点P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程; 解　因为y'=ex,所以曲线在点P(1,e)处的切线斜率是y'|x=1=e。所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为k=-。所以所求直线方程为y-e=-(x-1),即x+ey-e2-1=0。 (2)曲线y=x5上一点M处的切线与直线y=-x+3垂直,求此切线方程; 解　因为切线与y=-x+3垂直,所以切线斜率为1。又y'=x4,令x4=1,所以x=±1。所以切线方程为5x-5y-4=0或5x-5y+4=0。 (3)已知曲线方程为y=x2,求过点A(3,5)且与曲线相切的直