课时达标检测(14) 导数的概念及其几何意义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

课时达标检测(十四)　导数的概念及其几何意义 基础达标 一、单项选择题 1.若函数f (x)=x2的图象上有一点P(2,4)及邻近点Q(2+Δx,4+Δy),则= (A) A.4 B.4x C.4+2(Δx)2 D.4+2Δx 解析　==(4+Δx)=4。故选A。 2.设函数f (x)在点x0处附近有定义,且有f (x0+Δx)-f (x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则 (C) A.f '(x)=a B.f '(x)=b C.f '(x0)=a D.f '(x0)=b 解析　因为==a+bΔx。所以f '(x0)==a。 3.若可导函数f (x)的图象过原点,且满足=-1,则f '(0)等于 (C) A.-2 B.2 C.-1 D.1 解析　因为f (x)图象过原点,所以f (0)=0,所以f '(0)===-1,故选C。 4.已知函数f (x)在R上有导函数,f (x)图象如图所示,则下列不等式正确的是 (A) A.f '(a)<f '(b)<f '(c) B.f '(b)<f '(c)<f '(a) C.f '(a)<f '(c)<f '(b) D.f '(c)<f '(a)<f '(b) 解析　如图,分别作曲线在x=a,x=b,x=c三处的切线l1,l2,l3,设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1<k2<k3,又f '(a)=k1,f '(b)=k2,f '(c)=k3,所以f '(a)<f '(b)<f '(c)。故选A。 5.曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x+y+1=0,则 (D) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析　将(0,b)代入切线方程可得0+b+1=0,所以b=-1,y'==2x+a,所以当x=0时,y'|x=0=a=-1。 6.如图,曲线y=f (x)在点P(1,f (1))处的切线l过点(2,0),且f '(1)=-2,则f (1)的值为 (C) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析　曲线y=f (x)在点P(1,f (1))处的切线l过点(2,0),且f '(1)=-2,所以切线方程为y=-2(x-2)。因为切点在曲线上也在切线上,所以f (1)=-2×(1-2)=2。故选C。 二、多项选择题 7.下列说法正确的是 (BC) A.若f '(x0)不存在,则曲线y=f (x)在点(x0,f (x0))处没有切线 B.若曲线y=f (x)在点(x0,f (x0))处有切线,则f '(x0)不一定存在 C.若f '(x0)不存在,则曲线y=f (x)在点(x0,f (x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f (x)在点(x0,f (x0))处没有切线,则f '(x0)有可能存在 解析　f '(x0)的几何意义是曲线y=f (x)在点(x0,f (x0))处切线的斜率。当切线与x轴垂直时,切线斜率不存在,可知选项A,D不正确。 8.下列各点中,在曲线y=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为的是 (BC) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 解析　设切点坐标为(x0,y0),则y'==3-2=tan=1,所以x0=±1,当x0=1时,y0=-1;当x0=-1时,y0=1。 三、填空题 9.已知函数f (x)=,则f '(1)=  。  解析　f '(1)====。 10.过点(2,0)的函数y=的图象的切线斜率为 -1 。  解析　设切点为,因为y=,所以y'==-,则有-=,解得x0=1,所以所求切线斜率为-=-1。 11.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= 2 。  解析　由题意,知a+b=3,又y'|x=1==2a=2,所以a=1,b=2,故=2。 四、解答题 12.一条水管中流过的水量y(单位:m3)与时间t(单位:s)之间的函数关系为y=f (t)=3t。求函数y=f (t)在t=2处的导数f '(2),并解释它的实际意义。 解　因为===3,所以f '(2)==3。f '(2)的实际意义:水流在t=2时的瞬时流速为3 m3/s。 13.已知函数f (x)=2x+。 (1)求函数f (x)在区间[3,4]上的平均变化率; (2)求函数f (x)的图象在点,f 处的切线方程。 解　(1)函数f (x)在区间[3,4]上的平均变化率为==。 (2)设函数f (x)的图象在点,f 处的切线斜率为k,则k=f '===-2。又f =3,所以切线方程为y-3=-2×x-,即2x+y-4=0。 素养提升 14.点P在曲线f (x)=x2+1上,且曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标。 解　设P(x0,y0),则y