5.2.1 基本初等函数的导数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 　　 高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷。设一高铁走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数。根据导数的定义,就是求当Δt→0时,所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且有的函数(如y=sin x,y=ln x等)很难运用定义求导数,为此我们需要引入基本初等函数的导数公式。 1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数。 2.能利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 1.几个常用函数的导数 函数 导数 y=f (x)=c(c为常数) y'=0 y=f (x)=x y'=1 y=f (x)=x2 y'=2x y=f (x)=x3 y'=3x2 y=f (x)= y'=- y=f (x)= y'= 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)=c(c为常数) f '(x)=0 f (x)=xα(α∈Q,且α≠0) f '(x)=αxα-1 f (x)=sin x f '(x)=cos x f (x)=cos x f '(x)=-sin x f (x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a f (x)=ex f '(x)=ex f (x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)= f (x)=ln x f '(x)= 微提醒 以上几个常用的导数公式需要牢记,在求导数时,可直接应用,不必再用定义去求导。 微思考 1.函数f (x)=xα(α∈Q,且α≠0)与f (x)=ax(a>0,且a≠1)分别是什么类型的函数?它们的导数分别是什么? 提示:f (x)=ax为指数函数,其导数f '(x)=(ax)'=axln a(a>0,且a≠1);f (x)=xα(α∈Q,且α≠0)为幂函数,其导数f '(x)=(xα)'=αxα-1。 2.函数f (x)=ax与f (x)=ex及f (x)=logax与f (x)=ln x的求导公式有何特点? 提示:以a为底的指数函数或对数函数的导数,它们都有ln a这个部分,只是对数函数的导数中ln a在分母上;指数函数、对数函数的求导中,以e为底的是以a为底的特例。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用导数公式求导数 　　【例1】　求下列函数的导数: (1)y=x0(x≠0); (2)y=; (3)y=lg x; (4)y=; (5)y=2cos2-1。 解　(1)y'=0。 (2)y'=ln=-ln 3。 (3)y'=。 (4)因为y==(x>0),所以y'=()'==(x>0)。 (5)因为y=2cos2-1=cos x,所以y'=(cos x)'=-sin x。 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂。 (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度。解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式。 　　【变式训练】　求下列函数的导数: (1)y=x;(2)y=x; (3)y=lox;(4)y=ex。 解　(1)y'=x'=xln=-xln 2。 (2)y'=(x)'=()'==。 (3)y'=(lox)'==-。 (4)y'=(ex)'=ex。 类型二 利用导数公式解决切线问题 　　【例2】　已知曲线y=。 (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程; (2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程。 解　因为y=,所以y'=-。 (1)显然P(1,1)是曲线上的点,所以P为切点,所求切线斜率为函数y=在点P(1,1)的导数,即k=f '(1)=-1。所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0。 (2)显然Q(1,0)不在曲线y=上,则可设过该点的切线的切点为Aa,,那么该切线斜率为k=f '(a)=-。则切线方程为y-=-(x-a)　①。将Q(1,0)代入上述方程得0-=-(1-a),解得a=,代入方程①整理可得切线方程为y=-4x+4。 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数; (2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解。 　　【变式训练】　(1)在曲线f (x)=上某点处的切线的倾斜角为π,则该点的坐标为 (D) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1) 解析　切线的斜率k=tanπ=-1,设切点为(x0,y0),则f '(x0)=-1,又f '(x)=-,所以-=-1,所以