5.1.2 导数的概念及其几何意义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.1.2　导数的概念及其几何意义 　　 在必修第一册中,我们知道“对数增长”是越来越慢的,“指数爆炸”比“直线上升”快得多。能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢?这就要用今天我们将要学习的导数来刻画了。 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想。 2.体会极限思想。 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义。 1.导数的概念 (1)平均变化率。 定义式 = 实质 函数值的变化量与自变量的变化量之比 意义 描述函数y=f (x)从x0到x0+Δx的变化 (2)导数。 如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f (x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f (x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)。记作f '(x0)或y',即f '(x0)==。 2.导数的几何意义 (1)切线的定义。 如图,在曲线y=f (x)上任取一点P(x,f (x)),如果当点P(x,f (x))沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f (x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线。 (2)导数的几何意义。 函数y=f (x)在x=x0处的导数f '(x0)就是切线P0T的斜率k0,即 k0==f '(x0)。 微提醒 函数f (x)在某点处的导数刻画了函数在该点处函数值变化的快慢程度。 微思考 1.有同学认为曲线y=f (x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f (x)只有一个交点,你认为正确吗? 提示:不正确。曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多。与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线。 2.“函数y=f (x)在x=x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间有什么区别与联系? 提示:“函数y=f (x)在x=x0处的导数”是一个数值,是针对x0而言的,与给定的函数及x0的位置有关,而与Δx无关;“导函数”简称为“导数”,是一个函数,导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x,Δx无关。 　　　　　　　　　　　　　　 类型一 求函数在某点处的导数 　　【例1】　求函数y=x-在x=1处的导数。 解　Δy=(1+Δx)--=Δx+,所以==1+,所以y'x=1==1+=2。 求函数y=f (x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy=f (x0+Δx)-f (x0)。 (2)求平均变化率=。 (3)取极限f '(x0)=。 　　【变式训练】　求函数y=在x=2处的导数。 解　因为Δy=-=-1=-,所以=-,所以y'|x=2==-=-1。 类型二 导数的实际意义 　　【例2】　建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f (x)=++0.3,求f '(100),并解释它的实际意义。 解　根据导数的定义,得 f '(100)== = = = =+=0.105。 f '(100)=0.105表示当建筑面积为100 m2时,成本增加的速度为1 050元/m2。 导数的物理意义是函数在某一时刻的瞬时变化率。本题f '(x)的几何意义是面积x在取每一个值时房屋成本增加(减小)的大小。 　　【变式训练】　柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的。铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体,如果开始加热后第x h的沥青温度(单位:℃)为y=f (x)=80x2+20,0≤x≤1,求f '(0.25),并说明它的实际意义。 解　因为y=f (x)=80x2+20,0≤x≤1,所以 = = ==40+80Δx。 所以f '(0.25)=(40+80Δx)=40。它的实际意义表示,在x=0.25 h时,沥青的温度以40 ℃/h速度上升。 类型三 导数的几何意义 　　命题方向1:切线问题 　　【例3】　已知抛物线y=f (x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,求该切点的坐标。 解　设切点坐标为(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)2+1-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,所以=4x0+2Δx,所以f '(x0)==4x0。又因为切线的斜率为k=tan 45°=1,所以4x0=1,即x0=。所以y0=2×+1=,所以该切点的坐标为。 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标。 (2)利用导数或斜率公式求出斜率。 (3)利用斜率与导数的关系列方程,求出切点的横坐标。 (4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点的纵坐标。 　　【变式训练】　已知抛物线y=f (x)=2x2+1在某点处的切线平行于直线4x-y-2=